2020-天津卷-04 单-频率分布直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图的性质，以及频率、频数与样本容量的关系。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）4. 从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为 9 组：$[5.31,5.33),[5.33,5.35),\cdots ,[5.47,5.49]$，并整理得到频率分布直方图。则在被抽取的零件中，直径落在区间 $[5.43,5.47)$ 内的个数为（ ）

A. 10　　　　　　　B. 18　　　　　　　C. 20　　　　　　　D. 36

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定组距： 组距 $d$ = 上界 - 下界。例如 $5.33-5.31=0.02$。

2. 计算目标区间的频率： 直方图的纵轴是 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$。 目标区间 $[5.43,5.47)$ 跨越了两组：$[5.43,5.45)$ 和 $[5.45,5.47)$。 该区间的频率 $P=({\text{矩形高度}}_1+{\text{矩形高度}}_2)\times \text{组距}$。

3. 计算频数（个数）： 频数 = 样本容量 $N\times$ 频率 $P$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 识别参数： 样本容量 $N=80$。 组距 $d=0.02$。

2. 计算目标区间的频率 $P$： 区间 $[5.43,5.45)$ 的高度为 $6.25$； 区间 $[5.45,5.47)$ 的高度为 $5.00$。 则区间 $[5.43,5.47)$ 的总频率为： $P=(6.25+5.00)\times 0.02=11.25\times 0.02=0.225$。

3. 计算零件个数（频数）： 个数 = $80\times 0.225=18$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心误区： 千万不要直接把纵坐标相加作为频率！纵坐标代表的是频率密度，必须乘以组距才能得到频率。
• 计算技巧： 在计算 $11.25\times 0.02$ 时，可以看作 $11.25\times 2÷100=22.5÷100=0.225$。
• 直方图性质总结： 1. 所有小长方形的面积之和等于 1。 2. 矩形的高与频率成正比（在组距相等的前提下）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 2020 年后的天津卷中，统计题目有时会结合样本估计总体（如求平均数、众数、中位数）进行考查：

• 众数： 最高矩形底边的中点值。
• 中位数： 面积平分线对应的横坐标。
• 平均数： 每个矩形底边中点值乘以该矩形面积（频率）再求和。

针对本题： 如果题目问该批零件的合格率（假设直径在 5.43 以上合格），解题思路是完全一致的，即计算目标区间面积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-07 单-频率分布直方图
• 2006-重庆卷理-06 单-频数与频率的关系
• 2007-山东卷理-08 单-频率频数转化