2015-广东卷文-13 填-等比中项

本题导读

正数等比数列中 $b$ 是 $a,c$ 的等比中项：$b^2=ac=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=1$。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 若三个正数 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，其中 $a=5+2\sqrt{6}$，$c=5-2\sqrt{6}$，则 $b=$ $\underline{}$

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正数等比数列中 $b$ 是 $a,c$ 的等比中项：$b^2=ac=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=1$。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

$b^2=ac=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=25-24=1$。

由 $b>0$，得 $b=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比中项；平方差公式

核心方法：$b^2=ac$ 后开方取正

避坑指南：（1）$b=\pm 1$ 中按”三个正数”取 $b=1$；（2）$(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=25-(2\sqrt{6}{)}^2=25-24=1$，共轭根式的积设计成 1，别算成别的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比中项填空题以共轭无理数为素材，兼查乘法公式。

结论推广：一般地，$a=5+2\sqrt{6}$、$c=5-2\sqrt{6}$ 时 $ac=1$，$b=1$；若数列继续，则 $a_n=(5+2\sqrt{6}){\left(\frac{1}{5+2\sqrt{6}}\right)}^{n-1}=(5+2\sqrt{6}{)}^{3-2n}$ 型。

方法推广：“正数等比数列 → 等比中项开方取正”一步到位；先看符号条件再开方是习惯。

🔗【关联脉络】

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