2014-新课标II卷理-23 解-极坐标互化

本题导读

本题考查极坐标方程、直角坐标方程与参数方程的转换。第一问要求通过极坐标公式化简得到圆的普通方程，进而写出参数方程；第二问利用切线与法线（半径所在直线）的垂直关系，结合已知直线的斜率，确定点 $D$ 的位置及坐标。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho =2\cos \theta ,\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$.

(1) 求 $C$ 的参数方程；

(2) 设点 $D$ 在半圆 $C$ 上，半圆 $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $l:y=\sqrt{3}x+2$ 垂直.根据 (1) 中得到的参数方程，求直线 $CD$ 的倾斜角及 $D$ 的坐标.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：方程转换
   • 极化直：利用 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $x=\rho \cos \theta$。将 $\rho =2\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$ 得到 ${\rho }^2=2\rho \cos \theta$，代入转化为直角坐标方程。
   • 确定范围：根据 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$ 确定直角坐标下 $y$ 的取值范围（即上半圆）。
   • 参数化：根据圆的标准方程 $(x-1{)}^2+y^2=1$，利用三角恒等式写出参数方程。
2. 第二问：求点 $D$ 坐标
   • 斜率关系：直线 $l$ 的斜率 $k_l=\sqrt{3}$。切线与 $l$ 垂直，则切线的斜率 $k_{tangent}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$。
   • 几何性质应用：圆的切线垂直于过切点的半径（即法线）。设圆心为 $C(1,0)$，则半径 $CD\perp$ 切线。
   • 得出结论：由于 $CD\perp$ 切线且 $l\perp$ 切线，故 $CD//l$，即 $k_{CD}=k_l=\sqrt{3}$。
   • 计算坐标：利用直线 $CD$ 的斜率求出参数 $t$ 的值，代入参数方程求出 $D$。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求 $C$ 的参数方程；第 (2) 小题：求直线 $CD$ 的倾斜角及 $D$ 的坐标；$\frac{\pi }{3}$；$(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求 $C$ 的参数方程 由极坐标方程 $\rho =2\cos \theta$ 得 ${\rho }^2=2\rho \cos \theta$。 代入直角坐标转换公式 $x^2+y^2={\rho }^2$，$x=\rho \cos \theta$，得： $x^2+y^2=2x$，即 $(x-1{)}^2+y^2=1$。 由于 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$，则 $y=\rho \sin \theta =2\cos \theta \sin \theta =\sin 2\theta \ge 0$。 故 $C$ 是以 $(1,0)$ 为圆心，$1$ 为半径的上半圆。 其参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=1+\cos t\\ y=\sin t\end{array}(t\text{ 为参数, }0\le t\le \pi )$

第 (2) 小题：求直线 $CD$ 的倾斜角及 $D$ 的坐标 设半圆 $C$ 的圆心为 $C(1,0)$。 已知直线 $l:y=\sqrt{3}x+2$，其斜率为 $k_l=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$。 因为半圆 $C$ 在点 $D$ 处的切线垂直于 $l$，而半径 $CD$ 垂直于切线， 所以直线 $CD$ 平行于直线 $l$（或重合）。 故直线 $CD$ 的斜率 $k_{CD}=k_l=\sqrt{3}$。 设直线 $CD$ 的倾斜角为 $\alpha$，则 $\tan \alpha =\sqrt{3}$，解得 $\alpha =\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）。

由参数方程的几何意义可知，参数 $t$ 即为半径 $CD$ 与 $x$ 轴正方向的夹角， 故 $t=\alpha =\frac{\pi }{3}$。 将 $t=\frac{\pi }{3}$ 代入参数方程得： $x=1+\cos \frac{\pi }{3}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$； $y=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 所以，直线 $CD$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{3}$，点 $D$ 的坐标为 $(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标、参数方程与直角坐标方程互化，圆的切线性质。

2. 核心方法：两边乘 $\rho$ 化为直角坐标方程，再用参数方程表示；由切线垂直 $l$ 得 $CD\parallel l$ 求 $t$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线的参数方程、极坐标系下的距离公式。 6. 易错提醒: 转换方程后务必检查变量范围（如本题中半圆的 $y\ge 0$），防止扩大或缩小图形。

2. 结论推广: 圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 可化为参数方程 $\{\begin{array}{l}x=a+r\cos t\\ y=b+r\sin t\end{array}$。

3. 方法推广: 面对椭圆的参数方程，通常使用坐标代入目标函数求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-15 填-极坐标互化
• 2013-安徽卷理-07 单-极坐标互化
• 2013-天津卷理-11 填-极坐标互化