2014-浙江卷理-02 单-充分必要条件判定

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，兼查复数的代数运算。关键是把“$(a+bi{)}^2=2i$”等价转化为关于 $a,b$ 的方程组，再看两个命题之间的推出关系。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 已知 $i$ 是虚数单位，$a,b\in \mathbf{R}$，则“$a=b=1$”是“$(a+bi{)}^2=2i$”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开复数平方：$(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$，与 $2i$ 比较实部、虚部。
2. 化为方程组：$a^2-b^2=0$ 且 $2ab=2$。
3. 判推出关系：先由 $a=b=1$ 看结论是否成立；再反过来，由结论看能否唯一确定 $a=b=1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开并比较实部、虚部 $(a+bi{)}^2=a^2+2abi+b^2{i}^2=(a^2-b^2)+2abi$ 由 $(a+bi{)}^2=2i$ 得 $\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=0\\ 2ab=2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{a}^2=b^2\\ ab=1\end{array}$

第二步：解出满足条件的全部 $(a,b)$ 由 $ab=1$ 知 $a\ne 0$ 且 $b\ne 0$。又 $a^2=b^2$，得 $a=b$ 或 $a=-b$。

• 若 $a=b$，由 $a^2=1$ 得 $a=b=1$ 或 $a=b=-1$；
• 若 $a=-b$，则由 $-a^2=1$ 无实数解。

所以 $(a+bi{)}^2=2i⟺(a,b)=(1,1)$ 或 $(a,b)=(-1,-1)$。

第三步：判定充分性与必要性

• 充分性：$a=b=1$ 满足 $(a+bi{)}^2=2i$，故条件充分；
• 必要性：$(a+bi{)}^2=2i$ 时还可能 $a=b=-1$，不能推出 $a=b=1$，故条件不必要。

因此“$a=b=1$”是“$(a+bi{)}^2=2i$”的充分不必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的判定；复数的代数运算（平方展开与实虚部比较）。

2. 核心方法：先求“结论”成立的全部情形，再看“条件”是否为其中之一——条件对应的集合是结论对应集合的子集，则条件充分。

3. 避坑指南：$a^2=b^2$ 应分解为 $a=b$ 或 $a=-b$ 两种情形，只写 $a=b$ 会漏掉 $(a,b)=(-1,-1)$，从而误判为充要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 由复数的乘法运算与实虚部相等构建方程组，是复数与常用逻辑用语交汇的常见考法。

2. 结论推广: 一般地，$(a+bi{)}^2=c+di$（$c,d$ 为常数）的解至多两组，对应 $a^2-b^2=c$ 与 $2ab=d$ 联立的方程组。

3. 方法推广: 判断“$p$ 是 $q$ 的什么条件”，等价于比较集合 $\{x\mid p(x)\}$ 与 $\{x\mid q(x)\}$ 的包含关系：前者包含于后者则充分，后者包含于前者则必要。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-15 单-充分必要条件判定
• 2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定
• 2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定