2014-福建卷文-15 填-函数零点

本题导读

本题分段处理：$x⩽0$ 段直接解 $x^2=2$；$x>0$ 段证明 $2x-6+\ln x$ 单调递增并用零点存在定理定位唯一实根。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 求函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2,& x⩽0,\\ 2x-6+\ln x,& x>0\end{array}$ 的零点个数.

🔍【思路分析】

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$x⩽0$：$x^2-2=0\Rightarrow x=-\sqrt{2}$（舍 $+\sqrt{2}$）。$x>0$：$g(x)=2x-6+\ln x$，$g^{\prime }(x)=2+\frac{1}{x}>0$ 递增，$g(2)=\ln 2-2<0$，$g(3)=\ln 3>0$，恰一根。

✅【答案】

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零点个数

✍【详细解析】

详细解析

$x⩽0$ 时，$x^2-2=0$ 得 $x=-\sqrt{2}$，一个零点；$x>0$ 时，令 $g(x)=2x-6+\ln x$，$g^{\prime }(x)=2+\frac{1}{x}>0$，$g$ 在 $(0,+\infty )$ 递增，且 $g(2)=4-6+\ln 2<0$，$g(3)=6-6+\ln 3>0$，由零点存在定理恰有一个零点。故 $f(x)$ 共有 $2$ 个零点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数零点个数的判定
2. 核心方法：单调性 + 零点存在定理
3. 避坑指南：$x^2-2=0$ 的正根 $+\sqrt{2}$ 不在 $x⩽0$ 段内必须舍去；$x>0$ 段必须先用导数确认单调（否则可能两根），零点存在定理只保证“存在”，单调才保证“唯一”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分段函数零点个数问题融合了方程求解、导数单调性与零点存在定理，是函数小题的中档主力题型。
2. 结论推广: 把 $x>0$ 段的解析式换成 $x-3-\ln x$，同样两根；但换成 $2x-6-\ln x$ 则需重新讨论（$g^{\prime }=2-\frac{1}{x}$ 有变号点）。
3. 方法推广: 零点个数 = 各段根数之和；“每段内先谈单调、再找异号区间”是标准流程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 08.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-11 单-极值
• 2014-浙江卷理-15 填-分段函数