2014-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题是解析几何的综合压轴题。第一问通过直线与椭圆相切（判别式为零）求出切点 P 的坐标；第二问通过建立点到直线距离的函数式，利用基本不等式证明距离的最大值。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 如图，设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$).动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点 $P$，且点 $P$ 在第一象限.

(1) 已知直线 $l$ 的斜率为 $k$，用 $a,b,k$ 表示点 $P$ 的坐标；

(2) 若过原点 $O$ 的直线 $l_1$ 与 $l$ 垂直，证明：点 $P$ 到直线 $l_1$ 的距离的最大值为 $a-b$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：
   • 法一（通法）：设直线 $l:y=kx+m$，由于直线与椭圆只有一个公共点，联立方程后判别式 $\Delta =0$。由 $\Delta =0$ 求出 $m$ 关于 $a,b,k$ 的表达式，再代回求出切点 $x,y$ 的坐标。注意 $P$ 在第一象限，需判断 $k$ 和 $m$ 的符号。
   • 法二（伸缩变换）：利用变换 $x^{\prime }=\frac{x}{a},y^{\prime }=\frac{y}{b}$ 将椭圆变为单位圆，在圆中处理切线问题后再逆变换。
2. 第二问思路：
   • 因为 $l_1\perp l$ 且过原点，直线 $l_1$ 的方程可写为 $x+ky=0$。
   • 利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|x_P+k{y}_P|}{\sqrt{1+k^2}}$，将第一问求出的 $P$ 点坐标代入。
   • 整理得到关于 $k^2$ 的分式，利用基本不等式（均值不等式）求出分母的最小值，从而得到距离 $d$ 的最大值。

✅【答案】

点击查看答案

$P\left(-\frac{a^{2}k}{\sqrt{a^2{k}^2+b^2}},\frac{b^2}{\sqrt{a^2{k}^2+b^2}}\right)$；$a-b$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m$。由于点 $P$ 在第一象限且直线与椭圆相切，必有 $k<0,m>0$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$ 得 $(b^2+a^2{k}^2)x^2+2a^{2}kmx+a^2(m^2-b^2)=0$。 由 $\Delta =0$ 得 $(2a^{2}km{)}^2-4(b^2+a^2{k}^2)a^2(m^2-b^2)=0$， 化简得 $m^2=a^2{k}^2+b^2$。因为 $m>0$，故 $m=\sqrt{a^2{k}^2+b^2}$。 切点横坐标 $x_P=-\frac{2a^{2}km}{2(b^2+a^2{k}^2)}=-\frac{a^{2}k}{m}=-\frac{a^{2}k}{\sqrt{a^2{k}^2+b^2}}$； 切点纵坐标 $y_P=k{x}_P+m=\frac{-a^2{k}^2+m^2}{m}=\frac{b^2}{\sqrt{a^2{k}^2+b^2}}$。 故点 $P$ 的坐标为 $P\left(-\frac{a^{2}k}{\sqrt{a^2{k}^2+b^2}},\frac{b^2}{\sqrt{a^2{k}^2+b^2}}\right)$。

(2) 证明： 直线 $l_1$ 过原点且与 $l$ 垂直，其方程为 $y=-\frac{1}{k}x$，即 $x+ky=0$。 点 $P$ 到直线 $l_1$ 的距离 $d=\frac{|x_P+k{y}_P|}{\sqrt{1+k^2}}$： $d=\frac{|-\frac{a^{2}k}{\sqrt{a^2{k}^2+b^2}}+\frac{k{b}^2}{\sqrt{a^2{k}^2+b^2}}|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|k|(a^2-b^2)}{\sqrt{a^2{k}^2+b^2}\sqrt{1+k^2}}=\frac{(a^2-b^2)}{\sqrt{\frac{a^2{k}^2+b^2}{k^2}}\sqrt{1+k^2}}$ $d=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{(a^2+\frac{b^2}{k^2})(1+k^2)}}=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+a^2{k}^2+\frac{b^2}{k^2}+b^2}}$ 由基本不等式 $a^2{k}^2+\frac{b^2}{k^2}\ge 2\sqrt{a^2{k}^2\cdot \frac{b^2}{k^2}}=2ab$（当且仅当 $k^2=\frac{b}{a}$ 时取等号）。 所以 $d\le \frac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+b^2+2ab}}=\frac{(a-b)(a+b)}{\sqrt{(a+b{)}^2}}=a-b$。 故点 $P$ 到直线 $l_1$ 的距离的最大值为 $a-b$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与椭圆相切及点到直线距离的最值证明

2. 核心方法：设而不求+判别式法处理相切，伸缩变换简化运算。

3. 避坑指南：第一问中必须指出 $k<0$ 且利用 $P$ 在第一象限确定根号前的正负号。第二问证明最大值时，务必检查等号成立的条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆的切线方程（过圆上一点的切线方程推广）、垂直直线的斜率关系。

2. 结论推广: 椭圆切线的性质与光学性质紧密相关。切点坐标公式 $\left(\frac{a^2}{x_0},\frac{b^2}{y_0}\right)$ 的变形应用。

3. 方法推广: 面对分式结构的最值，均值不等式与导数法是并行的两条路，但在解析几何中均值不等式通常更简洁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-湖北卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质