2014-湖北卷文-17 填-圆的定比

本题导读

设 $M(x,y)$，展开 $|MB{|}^2={\lambda }^2|MA{|}^2$ 与 $x^2+y^2=1$ 比对。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 已知圆 $O:x^2+y^2=1$ 和点 $A(-2,0)$，若定点 $B(b,0)$（$b\ne -2$）和常数 $\lambda$ 满足：对圆 $O$ 上任意一点 $M$，都有 $|MB|=\lambda |MA|$，则

(1) $b=$ $\underline{}$；

(2) $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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展开平方式，与圆方程比对 $x$ 的一次项与常数项。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $M(x,y)$，则 $(x-b{)}^2+y^2={\lambda }^2\left[(x+2{)}^2+y^2\right]$，整理得 $(1-{\lambda }^2)(x^2+y^2)-2(b+2{\lambda }^2)x+(b^2-4{\lambda }^2)=0$。它应与 $x^2+y^2=1$ 同解，故 $b+2{\lambda }^2=0$ 且 $4{\lambda }^2-b^2=1-{\lambda }^2$。代入 $b=-2{\lambda }^2$：$4{\lambda }^4-3{\lambda }^2-1=0$，即 $(4{\lambda }^2+1)({\lambda }^2-1)=0$，得 ${\lambda }^2=\frac{1}{4}$。由 $\lambda >0$ 得 $\lambda =\frac{1}{2}$，$b=-2\times \frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$（满足 $b\ne -2$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：阿波罗尼斯圆（定比圆）

2. 核心方法：恒等式系数比对

3. 避坑指南：把 $|MB{|}^2={\lambda }^2|MA{|}^2$ 展开后与 $x^2+y^2=1$ 逐项比对：一次项系数给出 $b=-2{\lambda }^2$，常数项给出 $4{\lambda }^2-b^2=1-{\lambda }^2$；由 $\lambda >0$ 取正根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 阿波罗尼斯圆的方程刻画。

2. 结论推广: $\frac{|MB|}{|MA|}=\lambda (\lambda \ne 1)$ 的轨迹是以 $AB$ 分点为圆心的圆（阿氏圆）；$\lambda =1$ 时退化为中垂线。

3. 方法推广: 「对圆上任意点成立」⟺ 展开式与圆方程逐项成比例，这是处理圆上恒成立的通法，也可用三角参数 $M(\cos \theta ,\sin \theta )$ 分离恒成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.02 阿波罗尼斯圆

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-12 填-直线与圆
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义