2014-湖北卷理-13 填-程序框图

本题导读

本题结合程序框图考查三位数的数字重排减法规律。通过模拟循环过程，发现三位数在特定规则下的收敛特征（即三位数的卡普雷卡尔常数 495）。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 设 $a$ 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 $a$ 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为 $I(a)$，按从大到小排成的三位数记为 $D(a)$（例如 $a=815$，则 $I(a)=158,D(a)=851$）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 $a$，输出的结果 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解程序逻辑：这是一个循环结构。输入 $a$ 后，计算 $b=D(a)-I(a)$。如果 $b=a$，则输出 $b$ 并结束；如果 $b\ne a$，则将 $b$ 的值赋给 $a$，重新开始循环。
2. 特殊值带入：由于题目说明“任意输入一个 $a$”，说明输出结果是唯一的常数。我们可以取一个简单的符合条件的 $a$ 进行模拟。
3. 寻找收敛点：通过计算发现，无论初始值是多少，最终都会进入一个特定的数值，使得其重排后的最大值减最小值等于其自身。

✅【答案】

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495

✍【详细解析】

Abstract

特殊值模拟计算： 取初始值 $a_1=815$（如题干示例）：

1. 第一轮： $D(a_1)=851,I(a_1)=158$ $b_1=851-158=693$ 判断 $693\ne 815$，进入循环，令 $a_2=693$。
2. 第二轮： 数字为 6, 9, 3。$D(a_2)=963,I(a_2)=369$ $b_2=963-369=594$ 判断 $594\ne 693$，进入循环，令 $a_3=594$。
3. 第三轮： 数字为 5, 9, 4。$D(a_3)=954,I(a_3)=459$ $b_3=954-459=495$ 判断 $495\ne 594$，进入循环，令 $a_4=495$。
4. 第四轮： 数字为 4, 9, 5。$D(a_4)=954,I(a_4)=459$ $b_4=954-459=495$ 此时判断 $b_4=a_4=495$，条件成立，退出循环。

输出结果 $b=495$。

故答案为 495

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：程序框图循环结构与数字重排

2. 核心方法：特殊值代入逐步模拟 $D(a)-I(a)$ 直到 $b=a$ 输出

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三位数卡普雷卡尔常数

2. 结论推广: 各位数字互异的三位数经 $D-I$ 迭代收敛于 495。

3. 方法推广: 可迁移到程序框图模拟与迭代收敛类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图