2014-湖南卷文-01 单-命题

本题导读

$\forall$ 换 $\exists$，并把结论 $x^2+1>0$ 改为不成立的形式。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 设命题 $p:\forall x\in \mathbf{R}$，$x^2+1>0$，则 $\neg p$ 为()

A. $\exists x_0\in \mathbf{R}$，$x_0^2+1>0$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\exists x_0\in \mathbf{R}$，$x_0^2+1⩽0$

C. $\exists x_0\in \mathbf{R}$，$x_0^2+1<0$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\forall x\in \mathbf{R}$，$x^2+1⩽0$

🔍【思路分析】

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注意「$>0$」的否定是「$⩽0$」。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

全称命题的否定为特称命题：量词 $\forall$ 换为 $\exists$，结论 $x^2+1>0$ 换为其否定 $x_0^2+1⩽0$，故 $\neg p$ 为「$\exists x_0\in \mathbf{R}$，$x_0^2+1⩽0$」。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：全称命题的否定

2. 核心方法：改量词、否结论

3. 避坑指南：结论 $x^2+1>0$ 的否定是 $x^2+1⩽0$（取反号要含等号）；选项 A、C 只改了量词或只改了论域，属于典型的半改错项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 常用逻辑用语基本题。

2. 结论推广: 「$\forall x\in M,p(x)$」的否定为「$\exists x_0\in M,\neg p(x)$」。

3. 方法推广: 量词否定与反证法、恒成立问题的转化直接相关：恒成立的反面就是存在反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-05 单-且、或、非
• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示