2014-湖南卷文-15 填-偶函数

本题导读

写出 $f(-x)$ 并化简 $\ln ({\mathrm{e}}^{-3x}+1)$，与 $f(x)$ 比较一次项系数。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 若 $f(x)=\ln \left({\mathrm{e}}^{3x}+1\right)+ax$ 是偶函数，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$\ln ({\mathrm{e}}^{-3x}+1)=\ln ({\mathrm{e}}^{3x}+1)-3x$。

✅【答案】

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$-\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(-x)=\ln \left({\mathrm{e}}^{-3x}+1\right)-ax=\ln \frac{{\mathrm{e}}^{3x}+1}{{\mathrm{e}}^{3x}}-ax=\ln \left({\mathrm{e}}^{3x}+1\right)-3x-ax$。由 $f(-x)=f(x)$ 得 $-3x-ax=ax$，即 $-3=2a$，故 $a=-\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数求参数

2. 核心方法：用 $f(-x)=f(x)$ 恒等比较

3. 避坑指南：$f(-x)=\ln ({\mathrm{e}}^{-3x}+1)-ax=\ln ({\mathrm{e}}^{3x}+1)-3x-ax$，与 $f(x)$ 比较得 $-3x-ax=ax$，故 $a=-\frac{3}{2}$；也可用「偶函数导数为奇函数、$f\acute{(}0)=0$」验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 含指数式的对数型函数的奇偶性。

2. 结论推广: $\ln ({\mathrm{e}}^{-3x}+1)=\ln \frac{{\mathrm{e}}^{3x}+1}{{\mathrm{e}}^{3x}}=\ln ({\mathrm{e}}^{3x}+1)-3x$，这是关键变形。

3. 方法推广: 对数与指数复合的奇偶性问题，常用「提公因子构造 $\ln$ 的可加性」把 ${\mathrm{e}}^{-3x}$ 化为 ${\mathrm{e}}^{3x}$ 的表达式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-03 单-函数奇偶性
• 2014-湖南卷理-03 单-函数奇偶性