2012-重庆卷文-12 填-偶函数求参数

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及待定系数求参数。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 若 $f(x)=(x+a)(x-4)$ 为偶函数，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$(x+a)(x-4)=x^2+(a-4)x-4a$，偶函数要求一次项系数为 $0$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=(x+a)(x-4)=x^2+(a-4)x-4a$。

二次函数为偶函数当且仅当一次项系数为 $0$，故 $a-4=0$，即 $a=4$。

（验证：$f(x)=(x+4)(x-4)=x^2-16$，确为偶函数。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数的定义（图象关于 $y$ 轴对称）；多项式系数与奇偶性的对应

核心方法：二次（或多项式）函数的奇偶性直接读”奇次项系数是否为零”

避坑指南：用 $f(-1)=f(1)$ 求解也可以，但只代一个点可能漏解或代错符号；对多项式用”奇次项系数为零”最干净。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由奇偶性求参数题，与 2014 年新课标Ⅱ理第 15 题、2014 年湖南卷文第 15 题同族。

结论推广：一般地，多项式 $f(x)$ 为偶函数 $⟺$ 所有奇次项系数为 $0$；为奇函数 $⟺$ 所有偶次项（含常数项）系数为 $0$。

方法推广：多项式奇偶性问题优先展开成标准形式再看系数，避免在因式形式上硬代点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-16 填-周期偶函数求值
• 2014-新课标II卷理-15 填-偶函数定义与性质
• 2014-湖南卷文-15 填-偶函数