2008-湖南卷文-04 单-幂型反函数

本题导读

$x⩽0$ 值域 $y⩾0$，反函数 $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$（$x⩾0$）.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 函数 $f(x)=x^2$（$x⩽0$）的反函数是()

A. $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$（$x⩾0$）　　　　　　　　　　　B. $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$（$x⩾0$）

C. $f^{-1}(x)=-\sqrt{-x}$（$x⩽0$）　　　　　　　　　　D. $f^{-1}(x)=-x^2$（$x⩽0$）

🔍【思路分析】

破题导航

原函数单调递减、值域 $[0,+\infty )$；开方取负号（$x⩽0$ 支），定义域为原函数值域.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $y=x^2$（$x⩽0$），则 $x⩽0$ 且 $x^2=y$，故 $x=-\sqrt{y}$（$y⩾0$）. 按习惯互换 $x$、$y$，得反函数 $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$（$x⩾0$），选 B. A 选项符号错（对应 $x⩾0$ 支）；C、D 的定义域与解析式均不符.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法

核心方法：由 $y=f(x)$ 反解 $x$，互换 $x$、$y$ 并注明反函数定义域（原函数值域）

避坑指南：$x⩽0$ 的平方支开方取负号；反函数定义域是原函数的值域 $[0,+\infty )$，定义域必须写

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材反函数概念的直接考查

结论推广：分段/限定区间幂函数的反函数：反解、互换、注定义域三步

方法推广：反函数的值域是原函数的定义域——选项里定义域写错的直接排除（C、D 即如此）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-02 单-反函数
• 2014-湖南卷文-15 填-偶函数
• 2013-湖南卷文-04 单-奇偶性求值
• 2010-湖南卷文-08 单-函数图象识别