2014-湖南卷文-16 解-数列求和

本题导读

(1) 用 $a_n=S_n-S_{n-1}$；(2) 展开 $b_n$ 后奇偶并项再叠加等比求和。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n^2+n}{2}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n=2^{a_n}+(-1{)}^n{a}_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $2n$ 项和.

🔍【思路分析】

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(1) $a_n=S_n-S_{n-1}$；(2) $(-1{)}^{k}k$ 奇偶并项为 $1$。

✅【答案】

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(1) $a_n=n$；(2) $2^{2n+1}+n-2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n=1$ 时 $a_1=S_1=1$；当 $n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{n^2+n}{2}-\frac{(n-1{)}^2+(n-1)}{2}=n$。$n=1$ 也满足，故 $a_n=n$。 (2) 由 $a_n=n$ 得 $b_n=2^n+(-1{)}^{n}n$。前 $2n$ 项和 $T_{2n}=\left(2^1+2^2+\cdots +2^{2n}\right)+\left[-1+2-3+4-\cdots -(2n-1)+2n\right]$。第一项为 $\frac{2(2^{2n}-1)}{2-1}=2^{2n+1}-2$；第二项每两个一组各为 $1$，共 $n$ 组，和为 $n$。故 $T_{2n}=2^{2n+1}+n-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列通项与分组求和

2. 核心方法：$a_n=S_n-S_{n-1}$ 与奇偶分组

3. 避坑指南：由 $S_n$ 求 $a_n$ 必须验证 $n=1$；$b_n=2^n+(-1{)}^{n}n$ 逐项展开后奇偶两项合并为 $1$，$2n$ 项共得 $n$，再叠加等比求和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 由 $S_n$ 求通项与并项求和。

2. 结论推广: $a_n=S_n-S_{n-1}(n⩾2)$；${\sum }_{k=1}^{2n}(-1{)}^{k}k=n$。

3. 方法推广: 含 $(-1{)}^n$ 的数列求和用「并项法」：两项一组化简后再求和，或分奇偶讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-20 解-数列通项
• 2014-新课标I卷理-13 填-二项式通项