2008-湖南卷文-20 解-奇偶分段数列归纳

本题导读

$n$ 奇时 $a_{n+2}=a_n+1$，$n$ 偶时 $a_{n+2}=2a_n$；$a_{2r-1}=r$，$a_{2r}=2^r$；$W_k=\frac{k(k+1)}{2^{k+1}}<1$ 恒成立，不存在.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=\left(1+{\cos }^2\frac{n\pi }{2}\right)a_n+{\sin }^2\frac{n\pi }{2}$，$n=1,2,3,\cdots$.

(1)求 $a_3$，$a_4$，并求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设 $S_k=a_1+a_3+\cdots +a_{2k-1}$，$T_k=a_2+a_4+\cdots +a_{2k}$，$W_k=\frac{2S_k}{2+T_k}$（$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），求使 $W_k>1$ 的所有 $k$ 的值，并说明理由.

🔍【思路分析】

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奇偶分轨：奇数列 $1,2,3,\cdots$（公差 $1$），偶数列 $2,4,8,\cdots$（公比 $2$）；$W_k=\frac{k(k+1)}{2^{k+1}}$，用归纳法证 $2^{k+1}>k(k+1)$.

✅【答案】

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(1)$a_3=2$，$a_4=4$，$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n+1}{2},& n\text{ 为奇数},\\ 2^{\frac{n}{2}},& n\text{ 为偶数};\end{array}$(2)不存在使 $W_k>1$ 的正整数 $k$

✍【详细解析】

Abstract

当 $n$ 为奇数时，${\cos }^2\frac{n\pi }{2}=0$，${\sin }^2\frac{n\pi }{2}=1$，递推式化为 $a_{n+2}=a_n+1$. 当 $n$ 为偶数时，${\cos }^2\frac{n\pi }{2}=1$，${\sin }^2\frac{n\pi }{2}=0$，递推式化为 $a_{n+2}=2a_n$. (1)由上述两个递推关系，$a_3=a_1+1=2$，$a_4=2a_2=4$. 对任意正整数 $r$，分别沿奇数项和偶数项递推，得 $a_{2r-1}=r$，$a_{2r}=2^r$. 因此数列的通项公式为 $a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n+1}{2},& n\text{ 为奇数},\\ 2^{\frac{n}{2}},& n\text{ 为偶数}.\end{array}$ (2)由奇数项和偶数项的通项公式，$S_k=1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}$，$T_k=2+2^2+\cdots +2^k=2^{k+1}-2$. 所以 $W_k=\frac{k(k+1)}{2^{k+1}}$. 当 $k=1$ 时，$2^{k+1}=4>2=k(k+1)$；当 $k=2$ 时，$2^{k+1}=8>6=k(k+1)$. 若对某个 $k⩾2$ 有 $2^{k+1}>k(k+1)$，则 $2^{k+2}>2k(k+1)⩾(k+1)(k+2)$，其中最后一个不等式等价于 $k⩾2$. 由归纳法，任意正整数 $k$ 都有 $2^{k+1}>k(k+1)$，故 $W_k<1$. 因此不存在使 $W_k>1$ 的正整数 $k$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段递推数列与数学归纳法

核心方法：按 $n$ 的奇偶拆递推：奇数项等差、偶数项等比；比较 $W_k$ 与 $1$ 转化为证 $2^{k+1}>k(k+1)$

避坑指南：通项要分段写清”奇数项下标 $2r-1$ 对应 $r$“；归纳递推里 $2k(k+1)⩾(k+1)(k+2)$ 的条件是 $k⩾2$，起始验证要 $k=1$、$k=2$ 各验一次

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶分段递推数列与不等式恒成立的综合题（本卷解答压轴之一）

结论推广：分段递推各自成等差/等比后，$W_k$ 的比较转化为幂式与多项式的大小，归纳法收尾

方法推广：递推式中 ${\cos }^2\frac{n\pi }{2}$、${\sin }^2\frac{n\pi }{2}$ 按 $n$ 奇偶取 $0/1$，先把递推写简再动手；归纳法的传递步骤要写清”由 $k⩾2$“的条件来源

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2010-湖南卷文-20 解-数表归纳与裂项
• 2012-湖南卷文-20 解-数列递推与增长率
• 2014-湖南卷文-16 解-数列求和
• 2013-湖南卷文-19 解-Sn与an求和