2014-湖南卷理-01 单-复数除法

本题导读

本题考查复数代数形式的运算。核心在于将分式方程转化为线性方程，并熟练运用复数除法中的“分母实数化”技巧。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 满足 $\frac{z+i}{z}=i$ ($i$ 是虚数单位) 的复数 $z=$ ()

A. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$　　B. $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$　　C. $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$　　D. $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 去分母：利用方程性质，两边同乘以 $z$，得到 $z+i=zi$。
2. 分离变量：将所有含 $z$ 的项移至等号左侧，常数项移至右侧，整理为 $z(1-i)=-i$。
3. 复数除法：通过 $z=\frac{-i}{1-i}$ 计算结果。注意分子分母需同乘以分母的共轭复数 $1+i$ 以消除分母中的虚数单位。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由原方程 $\frac{z+i}{z}=i$ 可得： $z+i=zi$ 将项进行迁移： $z-zi=-i$ 提取公因式 $z$： $z(1-i)=-i$ 解得： $z=\frac{-i}{1-i}$

为了进行分母实数化，分子与分母同乘以 $(1+i)$： $z=\frac{-i(1+i)}{(1-i)(1+i)}$ $z=\frac{-i-i^2}{1^2-i^2}$ 根据虚数单位性质 $i^2=-1$： $z=\frac{-i-(-1)}{1-(-1)}$ $z=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式的运算

2. 核心方法：去分母得 $z(1-i)=-i$，分母实数化求 $z$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数除法（分母实数化）

2. 结论推广: 解含 $z$ 的复数方程可先移项整理再分母实数化。

3. 方法推广: 可迁移到复数方程求解与四则运算类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法