2015-湖南卷理-09 单-图象变换

本题导读

本题考查三角函数图象平移及最值点间距离的几何意义，重点检验考生对正弦函数最值点分布与平移初相之间关系的理解。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 将函数 $f(x)=\sin 2x$ 的图象向右平移 $\phi \left(0<\phi <\frac{\pi }{2}\right)$ 个单位后得到函数 $g(x)$ 的图象，若对满足 $|f(x_1)-g(x_2)|=2$ 的 $x_1,x_2$，有 $|x_1-x_2{|}_{\min }=\frac{\pi }{3}$，则 $\phi =$ ()

A. $\frac{5\pi }{12}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 由平移变换确定 $g(x)$ 的解析式。
2. 分析 $|f(x_1)-g(x_2)|=2$ 的几何意义：说明 $f(x_1)$ 与 $g(x_2)$ 分别取到各自的最大值与最小值（或最小值与最大值）。
3. 结合周期性与最值点位置，建立关于平移量 $\phi$ 的方程并求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=\sin 2x$ 的图象向右平移 $\phi$ 个单位后得到 $g(x)=\sin 2(x-\phi )=\sin (2x-2\phi )$。

因为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最大值为 $1$，最小值为 $-1$，所以 $|f(x_1)-g(x_2)|=2$ 成立当且仅当一个取最大值 $1$，另一个取最小值 $-1$。

不失一般性，设 $f(x_1)=1$ 且 $g(x_2)=-1$： 由 $2x_1=\frac{\pi }{2}+2k_1\pi$ 得 $x_1=\frac{\pi }{4}+k_1\pi (k_1\in \mathbf{Z})$； 由 $2x_2-2\phi =-\frac{\pi }{2}+2k_2\pi$ 得 $x_2=-\frac{\pi }{4}+\phi +k_2\pi (k_2\in \mathbf{Z})$。

两最值点横坐标之差： $x_1-x_2=\frac{\pi }{2}-\phi +k\pi (k\in \mathbf{Z})$。

已知 $|x_1-x_2{|}_{\min }=\frac{\pi }{3}$，且 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$，则： $0<\frac{\pi }{2}-\phi <\frac{\pi }{2}$。 当 $k=0$ 时，绝对值最小，即 $\frac{\pi }{2}-\phi =\frac{\pi }{3}$，解得 $\phi =\frac{\pi }{6}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的平移变换、“波峰到波谷”几何距离与相位的转换。
2. 核心方法：转化法（将函数值差的最大值转化为最值点之差）、数形结合法。
3. 避坑指南：平移变换时需注意对 $x$ 本身进行平移，$f(x)$ 向右平移 $\phi$ 得到的是 $\sin 2(x-\phi )=\sin (2x-2\phi )$，易错写成 $\sin (2x-\phi )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于对三角函数性质的综合考查，将经典的“函数平移”与“最值点横坐标差”相结合，考查对三角函数周期性与最值特性的深刻理解。
2. 结论推广：若周期为 $T$ 的正弦型函数 $f(x)=A\sin (\omega x+{\varphi }_1)$ 与 $g(x)=A\sin (\omega x+{\varphi }_2)$ 满足 $|f(x_1)-g(x_2)|=2A$，则其最近的最值点横坐标之差等于两函数相位的相对位置关系。

🔗【关联脉络】

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