2014-辽宁卷文-15 填-椭圆对称

本题导读

设 $N(x,y)$、$M(m,n)$，写出 $A$、$B$ 的坐标，发现 $|AN|$、$|BN|$ 是某个点到两定点的距离。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，点 $M$ 与 $C$ 的焦点不重合，若 $M$ 关于 $C$ 的焦点的对称点分别为 $A$，$B$，线段 $MN$ 的中点在 $C$ 上，则 $|AN|+|BN|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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椭圆中 $c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，两焦点为 $(\pm \sqrt{5},0)$，注意 $2\sqrt{5}$ 正是「放大后的」焦点。

✅【答案】

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$12$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 中 $a=3$，$b=2$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}$，两焦点为 $F_1(-\sqrt{5},0)$，$F_2(\sqrt{5},0)$。 设 $M(m,n)$，$N(x,y)$。因为 $M$ 关于 $F_1$ 的对称点为 $A$，关于 $F_2$ 的对称点为 $B$，所以 $A(-2\sqrt{5}-m,-n)$，$B(2\sqrt{5}-m,-n)$。 记 $s=m+x$，$t=n+y$，则 $|AN|=\sqrt{(x+2\sqrt{5}+m{)}^2+(y+n{)}^2}=\sqrt{(s+2\sqrt{5}{)}^2+t^2}$， $|BN|=\sqrt{(x-2\sqrt{5}+m{)}^2+(y+n{)}^2}=\sqrt{(s-2\sqrt{5}{)}^2+t^2}$。 线段 $MN$ 的中点为 $P\left(\frac{s}{2},\frac{t}{2}\right)$，它在 $C$ 上，故 $\frac{(s/2{)}^2}{9}+\frac{(t/2{)}^2}{4}=1$，即 $\frac{s^2}{36}+\frac{t^2}{16}=1$。 这说明点 $(s,t)$ 在以 $(\pm 2\sqrt{5},0)$ 为焦点、长半轴长为 $6$ 的椭圆上，于是 $|AN|+|BN|=2\times 6=12$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的定义与对称转化

2. 核心方法：把线段和转化为椭圆上的点到焦点的距离和

3. 避坑指南：关键是看出 $\overrightarrow{NA}$、$\overrightarrow{NB}$ 的长度等于「点 $(s,t)$ 到两焦点 $(\mp 2\sqrt{5},0)$ 的距离」，从而凑成椭圆的定义式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆的定义与点的对称。

2. 结论推广: 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任一点到两焦点距离之和为 $2a$。

3. 方法推广: 「对称 + 中点」型问题：设出动点坐标，把目标线段用坐标表示后凑定义式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-15 填-椭圆定义与性质
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质