2014-辽宁卷理-15 填-椭圆定义与性质

本题导读

本题考查椭圆的定义及中点性质。核心意图是通过对称关系和中点性质，将复杂的两线段长度之和转化为点到焦点的距离之和，进而利用椭圆定义求解。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，点 $M$ 与 $C$ 的焦点不重合，若 $M$ 关于 $C$ 的焦点的对称点分别为 $A,B$，线段 $MN$ 的中点在 $C$ 上，则 $|AN|+|BN|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 明确椭圆基本量：由方程可知 $a=3,b=2,c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。焦点为 $F_1(-\sqrt{5},0),F_2(\sqrt{5},0)$。
2. 利用对称关系：$M$ 关于 $F_1,F_2$ 的对称点分别为 $A,B$，意味着 $F_1$ 是线段 $MA$ 的中点，$F_2$ 是线段 $MB$ 的中点。
3. 坐标转化：设 $M(x_0,y_0),N(x_1,y_1)$，线段 $MN$ 的中点为 $P(x_P,y_P)$，且 $P$ 在椭圆上。
4. 向量/中位线思想：
   • 在 $△MAN$ 中，$F_1$ 是 $MA$ 中点，$P$ 是 $MN$ 中点，则 $F_{1}P$ 是中位线，从而 $|AN|=2|F_{1}P|$。
   • 同理，在 $△MBN$ 中，$F_{2}P$ 是中位线，则 $|BN|=2|F_{2}P|$。
5. 应用定义：$|AN|+|BN|=2(|F_{1}P|+|F_{2}P|)$。由于 $P$ 在椭圆上，根据定义 $|F_{1}P|+|F_{2}P|=2a$。

✅【答案】

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12

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析基本几何关系 设椭圆焦点为 $F_1,F_2$。 由题意，$M$ 关于 $F_1$ 的对称点为 $A$，说明 $F_1$ 是 $MA$ 的中点。 由题意，$M$ 关于 $F_2$ 的对称点为 $B$，说明 $F_2$ 是 $MB$ 的中点。

第二步：利用三角形中位线定理 设 $MN$ 的中点为 $P$。 在 $△MAN$ 中，$F_1$ 是 $MA$ 的中点，$P$ 是 $MN$ 的中点， 所以 $F_{1}P$ 是 $△MAN$ 的中位线。 根据中位线性质：$|AN|=2|F_{1}P|$。

同理，在 $△MBN$ 中，$F_2$ 是 $MB$ 的中点，$P$ 是 $MN$ 的中点， 所以 $F_{2}P$ 是 $△MBN$ 的中位线。 根据中位线性质：$|BN|=2|F_{2}P|$。

第三步：利用椭圆定义求解 我们要计算的是 $|AN|+|BN|$： $|AN|+|BN|=2|F_{1}P|+2|F_{2}P|=2(|F_{1}P|+|F_{2}P|)$ 因为点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，由椭圆的定义知： $|F_{1}P|+|F_{2}P|=2a$ 由已知 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 知 $a^2=9$，则 $a=3$。 所以 $|F_{1}P|+|F_{2}P|=2\times 3=6$。

第四步：计算最终结果 $|AN|+|BN|=2\times 6=12$

故答案为 12

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的第一定义：平面内与两定点距离之和等于定值的点轨迹。

2. 核心方法：几何性质优先。虽然可以通过设坐标强行计算（如原解析所示），但利用“中点”构造“三角形中位线”能将坐标运算简化为纯几何倍数关系，不仅速度快且不易出错。

3. 避坑指南：注意题目中“$M$ 关于焦点对称”的描述，一定要准确转化为中点关系。不要看到对称就只想到坐标取反，那是关于原点对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线、抛物线中涉及中点与焦点的类似性质（如抛物线中点到准线距离）。

2. 结论推广: 若 $M$ 关于两定点 $F_1,F_2$ 对称点为 $A,B$，$P$ 是 $MN$ 中点，则恒有 $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{F_{1}P},\overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{F_{2}P}$。

3. 方法推广: 几何性质优先。虽然可以通过设坐标强行计算（如原解析所示），但利用“中点”构造“三角形中位线”能将坐标运算简化为纯几何倍数关系，不仅速度快且不易出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-09 单-椭圆定义与性质
• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2013-辽宁卷理-15 填-椭圆性质