2014-重庆卷文-08 单-双曲线离心率

本题导读

由定义 $(|P{F}_1|-|P{F}_2|{)}^2=4a^2$，代入条件得 $4a^2=b^2-3ab$，化为关于 $\frac{b}{a}$ 的方程。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 设 $F_1$，$F_2$ 分别为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点，双曲线上存在点 $P$ 使得 $(|P{F}_1|-|P{F}_2|{)}^2=b^2-3ab$，则该双曲线的离心率为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{15}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $\sqrt{17}$

🔍【思路分析】

破题导航

平方去绝对值后 $4a^2=b^2-3ab$，令 $t=\frac{b}{a}$ 得 $t^2-3t-4=0$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线定义，$\left||P{F}_1|-|P{F}_2|\right|=2a$，故 $(|P{F}_1|-|P{F}_2|{)}^2=4a^2$。 于是 $4a^2=b^2-3ab$（此时 $b^2-3ab>0$，即 $b>3a$，这样的 $P$ 确实存在）。 两边同除以 $a^2$：${\left(\frac{b}{a}\right)}^2-3\left(\frac{b}{a}\right)-4=0$，解得 $\frac{b}{a}=4$（负根舍去）。 所以 $e^2=1+\frac{b^2}{a^2}=1+16=17$，$e=\sqrt{17}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的定义与离心率

2. 核心方法：定义转化 + 齐次方程法

3. 避坑指南：求出 $\frac{b}{a}=4$ 后，离心率是 $\sqrt{1+4^2}=\sqrt{17}$；把 $\frac{b}{a}=4$ 直接当成离心率正是选项 C 的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线的定义、标准方程与离心率。

2. 结论推广: $\left||P{F}_1|-|P{F}_2|\right|=2a$；$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。

3. 方法推广: 涉及 $|P{F}_1|\pm |P{F}_2|$ 的问题先回到双曲线定义，再把条件化为 $a$、$b$ 的齐次方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-9
• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率