2012-重庆卷文-14 填-双曲线的离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与性质，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 设 $P$ 为直线 $y=\frac{b}{3a}x$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）左支的交点，$F_1$ 是左焦点，$P{F}_1$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率 $e=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$P$ 的横坐标为 $-c$，纵坐标由直线给 $-\frac{bc}{3a}$；代入双曲线方程得 $\frac{8c^2}{9a^2}=1$，故 $e=\frac{3\sqrt{2}}{4}$。

✅【答案】

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$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

$P{F}_1\perp x$ 轴且 $F_1(-c,0)$，故 $P$ 的横坐标为 $-c$。

$P$ 在直线 $y=\frac{b}{3a}x$ 上，所以 $y_P=-\frac{bc}{3a}$。

代入双曲线：$\frac{c^2}{a^2}-\frac{b^2{c}^2}{9a^2{b}^2}=1$，即 $\frac{c^2}{a^2}\left(1-\frac{1}{9}\right)=1$。

所以 $\frac{8c^2}{9a^2}=1$，$e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{9}{8}$，$e=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的焦点坐标与通径位置；离心率的定义 $e=\frac{c}{a}$

核心方法：通径（垂直于实轴的焦点弦）端点坐标代入双曲线方程，得到只含 $e$ 的等式

避坑指南：$P$ 在左支，横坐标是 $-c$ 而不是 $c$；纵坐标代入时符号要跟着走（$\frac{b}{3a}\times (-c)$）。把 $y_P$ 代入双曲线时分子分母的 $b^2$ 会约去，别把 $-\frac{bc}{3a}$ 的平方算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦点弦与离心率题，与 2012 年福建卷文第 5 题、2014 年重庆卷文第 8 题同族。

结论推广：通径端点 $\left(\pm c,\pm \frac{b^2}{a}\right)$；本题直线的斜率 $\frac{b}{3a}$ 恰好把纵坐标表示成 $\frac{b}{3a}\cdot c$，从而制造出只含 $e$ 的方程。

方法推广：求离心率的目标是”得到只含 $a$，$c$（或 $e$）的等式”：把一切条件都朝 $\frac{c}{a}$ 方向化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-05 单-双曲线离心率
• 2013-陕西卷文-11 填-双曲线离心率
• 2014-重庆卷文-08 单-双曲线离心率