2014-重庆卷理-18 解-组合及组合数公式

本题导读

本题考查古典概型的概率计算以及离散型随机变量的分布列与期望。第一问通过简单的组合分类求概率；第二问需要对“中位数”这一统计量进行分类讨论，准确识别变量 $X$ 的所有可能取值。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1，3 张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片.

(1) 求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；

(2) $X$ 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 $X$ 的分布列与数学期望.

（注：若三个数 $a,b,c$ 满足 $a\le b\le c$，则称 $b$ 为这三个数的中位数）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分析：
   • 总情况数：从 9 张卡片中取 3 张，为 $C_9^3$。
   • 目标情况数：数字完全相同，即“3张都是1”或“3张都是2”（注意数字3只有2张，不可能全取到）。
2. 第二问分析：
   • 确定 $X$ 的取值：由卡片数字可知，中位数 $X$ 的可能取值为 1, 2, 3。
   • 计算概率 $P(X=k)$：
     • $X=1$：说明至少有 2 张卡片是 1。情况包括（1,1,1），（1,1,2），（1,1,3）。
     • $X=3$：说明至少有 2 张卡片是 3。情况包括（3,3,1），（3,3,2）。（注意没有3,3,3）。
     • $X=2$：可用全概率减去上述两项，或直接计算包含（2,2,2），（2,2,1），（2,2,3），（1,2,2），（1,2,3），（2,3,3）等情况。
   • 列出分布列并求期望：利用 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 求数字完全相同的概率；(2)求 $X$ 的分布列与期望；当 $X=1$ 时；当 $X=3$ 时

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求数字完全相同的概率 从 9 张卡片中任取 3 张，总的结果数为 $n=C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$。 所取 3 张卡片上的数字完全相同的情况有两类：

• 全是 1：有 $C_4^3=4$ 种；
• 全是 2：有 $C_3^3=1$ 种。 所以，数字完全相同的概率 $P=\frac{C_4^3+C_3^3}{C_9^3}=\frac{4+1}{84}=\frac{5}{84}$。

(2) 求 $X$ 的分布列与期望 $X$ 的可能取值为 1, 2, 3。

• 当 $X=1$ 时，取出的三张数字中，1 的张数不少于 2 张。 $P(X=1)=\frac{C_4^3+C_4^2{C}_5^1}{C_9^3}=\frac{4+6\times 5}{84}=\frac{34}{84}=\frac{17}{42}$。
• 当 $X=3$ 时，取出的三张数字中，3 的张数不少于 2 张。 $P(X=3)=\frac{C_2^2{C}_7^1}{C_9^3}=\frac{1\times 7}{84}=\frac{7}{84}=\frac{1}{12}$。
• 当 $X=2$ 时， $P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=1-\frac{34}{84}-\frac{7}{84}=\frac{43}{84}$。

$X$ 的分布列如下：

$X$	1	2	3
$P$	$\frac{17}{42}$	$\frac{43}{84}$	$\frac{1}{12}$

数学期望： $E(X)=1\times \frac{17}{42}+2\times \frac{43}{84}+3\times \frac{1}{12}$ $E(X)=\frac{34}{84}+\frac{86}{84}+\frac{21}{84}=\frac{141}{84}=\frac{47}{28}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型与离散型随机变量分布列期望。

2. 核心方法：组合分类求概率，由中位数取值求分布列与期望。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 组合数与随机变量数字特征。

2. 结论推广: 中位数 $X$ 取值由数字张数决定。

3. 方法推广: 求分布列先确定取值再分类算概率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-13 填-组合数公式
• 2015-上海卷文-10 填-组合数
• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数