2014-陕西卷理-14 填-归纳推理

本题导读

本题考查通过观察具体几何体的数据特征进行归纳推理的能力。核心考点是凸多面体的顶点数、面数和棱数之间满足的线性关系，即著名的欧拉公式。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 观察分析下表中的数据：

多面体	面数 ($F$)	顶点数 ($V$)	棱数 ($E$)
三棱柱	$5$	$6$	$9$
五棱锥	$6$	$6$	$10$
立方体	$6$	$8$	$12$

猜想一般凸多面体中，$F,V,E$ 所满足的等式是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数据提取：依次提取表中三组几何体的 $(F,V,E)$ 坐标。
2. 寻找规律：尝试对每一组数据进行简单的加减运算，观察是否存在常数关系。
   • 第一组：$5,6,9$
   • 第二组：$6,6,10$
   • 第三组：$6,8,12$
3. 建立等式：发现 $F+V$ 的值始终比 $E$ 大 $2$。
4. 得出结论：将该规律推广到一般凸多面体，得出关于 $F,V,E$ 的等式关系。

✅【答案】

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$F+V-E=2$（或 $V+F=E+2$）

✍【详细解析】

Abstract

观察表中的具体数值：

• 三棱柱：$F=5,V=6,E=9$。计算得 $F+V-E=5+6-9=2$。
• 五棱锥：$F=6,V=6,E=10$。计算得 $F+V-E=6+6-10=2$。
• 立方体：$F=6,V=8,E=12$。计算得 $F+V-E=6+8-12=2$。

通过对以上三个特例的计算，发现它们都满足相同的数量关系，即面数与顶点数之和减去棱数等于 $2$。 由此归纳猜想，对于一般的凸多面体，该规律依然成立。

【答案】 $F+V-E=2$（或 $V+F=E+2$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：凸多面体的欧拉公式 $V+F-E=2$。

2. 核心方法：归纳推理。即从特殊到一般的推理过程，它是科学发现和数学猜想的重要手段。

3. 避坑指南：计算时务必细心，不要将字母对应的数值搞混。虽然题目给出的名称是三棱柱、五棱锥等，但只需关注表格内给出的数字逻辑即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正多面体（只有五种）的判定，即利用欧拉公式证明。

2. 结论推广: 欧拉公式不仅适用于简单的多面体，在拓扑学中，它与曲面的亏格（洞的数量）有关。

3. 方法推广: 面对涉及多个变量的规律探寻题，通常采用“两两求和”或“两两求差”的方式寻找恒定量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式
• 2013-陕西卷理-14 填-归纳推理的基本方法
• 2013-广东卷理-08 单-归纳推理与类比推理