2015-北京卷文-07 单-三视图

本题导读

本题考查由三视图还原几何体并计算空间中最长棱的长度，考查空间想象能力与计算能力。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(文)） 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 ()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 根据三视图可知，该四棱锥的底面是一个边长为 $1$ 的正方形（由俯视图及对角线看出），其中一条侧棱垂直于底面（由正视图和侧视图左侧垂直边长为 $1$ 看出）。
2. 计算各条棱的长度，通过比较找出最长的棱。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由三视图还原几何体： 底面为边长 $a=1$ 的正方形，高 $h=1$，且垂直于底面的侧棱长为 $1$。 设四棱锥为 $P-ABCD$，其中 $PA\perp \text{平面 }ABCD$，且 $PA=1$，底面 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形。 各条棱的长度分别为：

• 底面四条边长均为 $1$；
• 垂直侧棱 $PA=1$；
• 另外三条侧棱中，以 $PB$ 和 $PD$ 为例，$PB=\sqrt{P{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
• 最长侧棱为 $PC$，其长度为 $PC=\sqrt{P{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3}$。 因此，该四棱锥最长棱的棱长为 $\sqrt{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图识图、空间距离计算。
2. 核心方法：构建直角三角形利用勾股定理逐一计算。
3. 避坑指南：注意底面正方形对角线长度为 $\sqrt{2}$，切勿漏算对角线构成的最长侧棱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何三视图与几何体度量常规题。
2. 结论推广: 推广至一般直棱锥或斜棱锥的最值距离问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2021-北京卷-04 单-三视图还原
• 2024-北京卷-14 填-等比数列应用题
• 2022-高考北京卷-16