2024-北京卷-14 填-等比数列应用题

本题导读

本题以汉代标准量器“铜嘉量”为文化背景，考查圆柱体积公式与等比数列的综合应用。核心技巧在于利用“同底面”及“倍数直径”的比例特征进行消元，避免盲目进行大数乘防.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为 10 的等比数列，底面直径依次为 $65\text{ mm}$， $325\text{ mm}$， $325\text{ mm}$，且斛量器的高为 $230\text{ mm}$，则斗量器的高为______ $\text{mm}$，升量器的高为______ $\text{mm}$.（不计量器的厚度）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建容积模型：设升、斗、斛的容积分别为 $V_1,V_2,V_3$，高分别为 $h_1,h_2,h_3$。圆柱容积公式为 $V=\frac{\pi }{4}{d}^{2}h$。根据等比数列关系可得 $V_3=10V_2$，$V_2=10V_1$。
2. 第一空（求斗高 $h_2$）：观察到斗和斛的底面直径完全相同（均为 $325\text{ mm}$），即底面积相等。根据容积比等于高度比，可直接得出高度的十分之一关系。
3. 第二空（求升高 $h_1$）：列出斗与升的容积比例等式，观察直径数据发现 $\frac{325}{65}=5$。利用比例代换法整体化简平方项，避免直接计算 $325^2$ 的高强运算。

✅【答案】

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23

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求斗量器的高 $h_2$ 已知斛量器的底面直径 $d_3=325\text{ mm}$，高 $h_3=230\text{ mm}$； 斗量器的底面直径 $d_2=325\text{ mm}$。 因为两者的底面直径相同，所以它们的底面积相等（设为 $S$）。 根据题意，斛与斗的容积满足等比关系： $V_3=10V_2$ 代入柱体体积公式： $S\cdot h_3=10\cdot S\cdot h_2⟹h_2=\frac{1}{10}{h}_3$ 将 $h_3=230\text{ mm}$ 代入得： $h_2=\frac{1}{10}\times 230=23\text{ mm}$

第二步：求升量器的高 $h_1$ 已知升量器的底面直径 $d_1=65\text{ mm}$。 根据等比关系，斗与升的容积满足： $V_2=10V_1$ 代入含有直径的圆柱体积公式： $\frac{\pi }{4}\cdot d_2^2\cdot h_2=10\times \left(\frac{\pi }{4}\cdot d_1^2\cdot h_1\right)$ 等式两边同时约去公因式 $\frac{\pi }{4}$： $d_2^2\cdot h_2=10\cdot d_1^2\cdot h_1$ 移项整合求 $h_1$，巧用指数幂的结合律： $h_1=\frac{1}{10}\cdot {\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2\cdot h_2$ 代入具体数据 $d_2=325$，$d_1=65$，$h_2=23$： $h_1=\frac{1}{10}\cdot {\left(\frac{325}{65}\right)}^2\cdot 23$ 因为 $\frac{325}{65}=5$，上式可极大简化为： $h_1=\frac{1}{10}\cdot 5^2\cdot 23=\frac{1}{10}\cdot 25\cdot 23=\frac{575}{10}=57.5\text{ mm}$

【答案】：23 ； 57.5

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$ 的灵活变形、等比数列通项关系的几何应用。
2. 核心方法：比例消元法、特值代换法。
3. 避坑指南：

• 杜绝野蛮计算：处理含有 $325^2$ 和 $65^2$ 的代数式时，严禁直接在草稿纸上强行硬算大数。高考数学具有极强的结构美学，看到 325 和 65 应当条件反射出 $5$ 倍的约分关系。
• 单位和半径陷阱：题干中给出的是“底面直径”，虽然在做比例时半径或直径无影响，但在常规列式中需分清直径与半径的公式差别。

📖 【试题探源与推广】

1. 试题探源: 本题源自人教A版必修第二册《立体几何初步》与选择性必修第二册《数列》的跨板块融合。以我国汉代著名的标准量器“铜嘉量”为数学建模原型（新课标倡导的中国传统数学文化浸润题型）。
2. 结论推广: 在处理一系列底面半径具有倍数关系、且总体积具有等比关系的旋转体（圆柱/圆锥）组合问题时，任意两项的高度之比满足通式： $\frac{h_A}{h_B}=\frac{V_A}{V_B}\cdot {\left(\frac{d_B}{d_A}\right)}^2$。通过这一比例网络，可实现不依赖任何中间绝对容积数据的全图快速求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2009-山东卷文-20 解-等比数列求和