2015-北京卷文-15 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角函数的化简、最小正周期及给定区间上的最值，属于基础解答题。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin x-2\sqrt{3}{\sin }^2\frac{x}{2}$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用降幂公式 $2{\sin }^2\frac{x}{2}=1-\cos x$ 将原函数化简。
2. 利用辅助角公式提取振幅，化为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的形式，进而求周期。
3. 根据 $x$ 的范围确定相位 $\omega x+\phi$ 的范围，结合正弦函数图象求极值。

✅【答案】

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此时 $f(x)$ 的最小值为 $2\times 0-\sqrt{3}=-\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(x)=\sin x-\sqrt{3}(1-\cos x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\sqrt{3}$。 所以 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi$。

(2) 因为 $x\in \left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$， 所以 $x+\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{3},\pi \right]$。 当 $x+\frac{\pi }{3}=\pi$，即 $x=\frac{2\pi }{3}$ 时，$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ 取得最小值 $0$。 此时 $f(x)$ 的最小值为 $2\times 0-\sqrt{3}=-\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角（降幂）公式、辅助角公式。
2. 核心方法：化归为“一角一函数”形式。
3. 避坑指南：利用辅助角公式时注意符号和常数项不要遗漏；求最值时必须结合给定区间求出相位的准确范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数图象与性质常规题。
2. 结论推广: 含参三角函数在闭区间上的最值与参数范围讨论。

🔗【关联脉络】

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