2019-北京卷理-15 解-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于方程组法、代数消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）在 $△ABC$ 中，$a=3$，$b-c=2$，$\cos B=-\frac{1}{2}$。

(1)求 $b,c$ 的值；

(2)求 $\sin (B-C)$ 的值。

🔍【思路分析】

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第一问（求边）：

• 已知条件：一边 ($a$)、两边关系 ($b-c=2$) 以及其中一边的对角余弦值 ($\cos B$)。
• 核心工具：余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
• 解题路径：建立关于 $b,c$ 的方程组，代入消元求解一元二次方程。

第二问（求角）：

• 目标分析：计算 $\sin (B-C)$，展开公式为 $\sin B\cos C-\cos B\sin C$。
• 已知量推导：已知 $\cos B=-\frac{1}{2}$，易得 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
• 跨越转化：利用正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 求出 $\sin C$。
• 范围判定：注意角 $C$ 的范围判定（大边对大角），求出 $\cos C$，最后代入两角差的正弦公式。

✅【答案】

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(1)$b=7$，$c=5$。

(2)$\sin (B-C)=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理得：$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。 将 $a=3,\cos B=-\frac{1}{2}$ 代入得： $b^2=3^2+c^2-2\times 3\times c\times \left(-\frac{1}{2}\right)$ $b^2=9+c^2+3c$ —— ① 又已知 $b-c=2$，即 $b=c+2$。代入 ① 式： $(c+2{)}^2=9+c^2+3c$ $c^2+4c+4=9+c^2+3c$ 解得：$c=5$。 则 $b=5+2=7$。 所以，$b=7,c=5$。

1. 求 $\sin B$： 因为 $B\in (0,\pi )$，且 $\cos B=-\frac{1}{2}$， 所以 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

2. 求 $\sin C$：

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{5\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$

3. 求 $\cos C$： 因为 $b=7>c=5$，根据大边对大角可知 $B>C$。 由于 $B$ 为钝角（$\cos B<0$），则 $C$ 必为锐角。 $\cos C=\sqrt{1-{\sin }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{5\sqrt{3}}{14}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{75}{196}}=\sqrt{\frac{121}{196}}=\frac{11}{14}$

4. 计算最终结果： $\sin (B-C)=\sin B\cos C-\cos B\sin C$ $\sin (B-C)=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{11}{14}-\left(-\frac{1}{2}\right)\times \frac{5\sqrt{3}}{14}$ $\sin (B-C)=\frac{11\sqrt{3}}{28}+\frac{5\sqrt{3}}{28}=\frac{16\sqrt{3}}{28}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 特殊角的敏感度：$\cos B=-1/2$ 直接说明 $B=120^{\circ }$。在解析过程中，如果直接指出 $B=120^{\circ }$ 并代入计算也是极好的。
• 多解问题的规避：在求 $\cos C$ 时，务必通过边长关系 $b>c$ 判定 $B>C$。在三角形中，由于钝角最多只有一个，小角 $C$ 必为锐角，从而确定 $\cos C$ 为正值。
• 北京卷特色：解答题第一题通常难度适中，重在考查公式提取的准确性和运算的稳定性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 已知两边及一边的对角：优先考虑正弦定理（需注意可能两解的情况）或余弦定理（列方程求解，通常唯一解）。
2. 已知三边：必用余弦定理求角。
3. 面积公式结合：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 常作为此类题目的后续设问出现。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-福建卷理-10
• 2022-天津卷-16 解-解三角形
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换