2019-北京卷文-15 解-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于方程组法与诱导公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）在 $△ABC$ 中，$a=3,b-c=2,\cos B=-\frac{1}{2}$.

(1) 求 $b,c$ 的值；

(2) 求 $\sin (B+C)$ 的值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据余弦定理将 $b^2,c^2$ 用 $a$ 和 $b-c$ 关联，结合已知条件列出方程组求解。
2. 第二问：利用三角形内角和定理，将 $\sin (B+C)$ 转化为 $\sin (\pi -A)=\sin A$，再由正弦定理求出 $\sin A$。

✅【答案】

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(1)$b=7$，$c=5$。

(2)$\sin (B+C)=\frac{3\sqrt{3}}{14}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△ABC$ 中，由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$： 已知 $a=3,\cos B=-\frac{1}{2}$，代入得： $b^2=3^2+c^2-2\cdot 3\cdot c\left(-\frac{1}{2}\right)$， 即 $b^2=9+c^2+3c$. 又因为 $b-c=2⟹b=c+2$，代入上式： $(c+2{)}^2=9+c^2+3c$， $c^2+4c+4=9+c^2+3c$， 化简得 $4c+4=9+3c⟹c=5$. 则 $b=c+2=5+2=7$. 所以 $b=7,c=5$.

(2) 在 $△ABC$ 中，因为 $A+B+C=\pi$， 所以 $B+C=\pi -A$， $\sin (B+C)=\sin (\pi -A)=\sin A$. 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$： 先求 $\sin B$：因为 $\cos B=-\frac{1}{2}$ 且 $B$ 为三角形内角， 所以 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 由正弦定理得 $\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$. 故 $\sin (B+C)=\frac{3\sqrt{3}}{14}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理、正弦定理、诱导公式。
2. 核心方法：方程组联立求解。
3. 避坑指南：注意三角形内角正弦值恒大于 0，余弦值为负时对应钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第15题。
2. 结论推广: 解三角形中的边角综合应用问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-13 填-余弦定理
• 2025-天津卷-16 解-解三角形综合
• 2003-全国卷理-17