本题导读
本题考查椭圆的标准方程。核心在于设线法与韦达定理、坐标转化与代数化简的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2021年北京卷）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 斜率为 ，交椭圆 于不同的两点 ，直线 分别交直线 于点 ．若 ，求 的取值范围．
🔍【思路分析】
破题导航
（1）求椭圆方程：
利用椭圆经过点 直接确定短半轴 的值。椭圆四个顶点构成的菱形面积公式为 ，联立已知面积可求出 ，进而写出标准方程。
（2）直线与椭圆的综合探究：
设点与设线：设直线 的方程为 ，与椭圆联立，利用判别式 求出 的初步范围，并写出韦达定理。
坐标转化：设 ，求出直线 的方程。令 ，分别求出 的横坐标 （用 等表示）。
目标式代数化简：将 代入 中化简。注意 是目标直线 上的原点投影，故 ， 。论证 后，可去掉绝对值内部的符号，将 转化为 ，随后代入韦达定理化简为一个关于 的一元绝对值不等式，解出即可。
✅【答案】
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(1)
(2)
✍【详细解析】
Abstract
（1）解：求椭圆方程
因为椭圆 过点 ，该点为椭圆下顶点，故 。
椭圆以四个顶点围成的四边形为菱形，其对角线长分别为 和 。
依题意，菱形面积为 ，故有：
将 代入，得 。
所以，椭圆 的标准方程为：
（2）解：求斜率 的取值范围
设 。
因为直线 过点 且斜率存在，故设直线 的方程为 。
由于直线 不经过点 ，所以 均不与 重合，即 。
联立直线 与椭圆 的方程：
将 消去，得 ，展开整理得：
直线与椭圆交于不同的两点，故判别式 ：
解得：，即 或 。①
由韦达定理可知：
x_1 + x_2 = \frac{30k}{4 + 5k^2}$$$$x_1 x_2 = \frac{25}{4 + 5k^2}
显然 。
接下来求点 的坐标。
点 坐标为 ，直线 的斜率为 。
所以直线 的方程为：。
令 ，求得点 的横坐标：
因为点 在直线 上，所以 ，代入上式：
同理可得，直线 与 的交点 的横坐标为：
由于 ， ， ，都在水平直线上，所以：
我们先考察 的正负号：
将韦达定理代入分母：
且分子 。
所以 ，即 与 同号。
因此，。
计算 ：
将韦达定理和上面已算出的分母代入：
由题意知， ：
即 。②
综合① 的条件（ 或 ）与②（），取交集得：
或 。
结论：
的取值范围是 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：
直线参数化与坐标代换：本题的关键在于如何把几何条件 转化为代数表达。由于它们都在同一条水平直线上，因此将其转化为横坐标的绝对值之和 ，这是典型的化繁为简思路。
“同号转化”技巧：在处理 时，直接绝对值相加极难处理，判断出 是破局关键，由此可以顺利合并为 ，进而无缝对接韦达定理。
“算必有理”的计算习惯：在代入韦达定理化简繁琐的分式时，建议先分别计算分子和分母，不要急于写成巨大的繁分数，这样能显著降低算错的概率。本题分母极简为 便是验证计算正确与否的重要反馈。
📖【试题探源与推广】
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试题探源：待补
结论推广：待补
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