2015-北京卷理-15 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质。第一问通过二倍角公式和辅助角公式将复杂的三角表达式化简为标准正弦型函数，从而确定周期；第二问利用整体代换思想，结合正弦函数在特定区间内的单调性求出最小值。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\sqrt{2}{\sin }^2\frac{x}{2}$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 在区间 $[-\pi ,0]$ 上的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（化简与周期）：
   • 观察式子结构，利用二倍角公式 $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ 和 ${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$ 进行降次和化简。
   • 进一步利用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 化为单一三角函数。
   • 根据公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 计算周期。
2. 第二问（最值）：
   • 由 $x\in [-\pi ,0]$ 确定复合角 $(x+\phi )$ 的取值范围。
   • 结合正弦函数 $y=\sin u$ 的图象，确定在该范围内正弦值的最小值。
   • 代回原式计算 $f(x)$ 的最小值。

✅【答案】

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根据正弦函数的图象： 当 $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}$ 时（即 $x=-\frac{3\pi }{4}$，该点在区间内），$\sin (x+\frac{\pi }{4})$ 取得最小值 $-1$。 此时，$f(x)$ 的最小值为： $f(x{)}_{min}=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 化简 $f(x)$ 并求周期 由二倍角公式得： $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}⟹\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sin x$ ${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$

代入 $f(x)$ 表达式： $f(x)=\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sin x-\sqrt{2}\cdot \frac{1-\cos x}{2}$ $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}$

利用辅助角公式（由于 $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$）： $f(x)=\sin (x+\frac{\pi }{4})-\frac{\sqrt{2}}{2}$

因为 $\omega =1$，所以最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi$。

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(2) 求在区间 $[-\pi ,0]$ 上的最小值 因为 $-\pi ⩽x⩽0$， 所以 $-\pi +\frac{\pi }{4}⩽x+\frac{\pi }{4}⩽0+\frac{\pi }{4}$， 即 $-\frac{3\pi }{4}⩽x+\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{4}$。

根据正弦函数的图象： 当 $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}$ 时（即 $x=-\frac{3\pi }{4}$，该点在区间内），$\sin (x+\frac{\pi }{4})$ 取得最小值 $-1$。 此时，$f(x)$ 的最小值为： $f(x{)}_{min}=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 恒等变换是功底：降次公式和辅助角公式（合一公式）是高考三角大题的第一步，必须极其熟练。
2. 整体思想：在求最值时，将 $x+\frac{\pi }{4}$ 看作一个整体变量 $u$，通过控制 $u$ 的范围来观察 $\sin u$ 的性态。
3. 避坑指南：辅助角公式后的常数项（如本题的 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$）在计算最值时不能漏掉。同时注意区间端点值的检查，确保最小值点落在给定区间内。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若要求单调增区间，令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽x+\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 即可。
• 变式思考：如果函数改为 $f(x)=|\sin (x+\frac{\pi }{4})-\frac{\sqrt{2}}{2}|$，在同一区间上的最值会发生什么变化？ (提示：需考虑函数图象翻折后的情况，最小值可能为 0。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

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• 2019-北京卷理-15 解-解三角形