2015-四川卷文-13 填-三角求值

本题导读

$\sin \alpha +2\cos \alpha =0\Rightarrow \tan \alpha =-2$，$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha -{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{2\tan \alpha -1}{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{-5}{5}=-1$。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 已知 $\sin \alpha +2\cos \alpha =0$，则 $2\sin \alpha \cos \alpha -{\cos }^2\alpha$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin \alpha +2\cos \alpha =0\Rightarrow \tan \alpha =-2$，$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha -{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{2\tan \alpha -1}{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{-5}{5}=-1$。

✅【答案】

点击查看答案

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \alpha +2\cos \alpha =0$ 且 $\cos \alpha \ne 0$（否则 $\sin \alpha =0$ 矛盾），得 $\tan \alpha =-2$。

所求为二次齐次式，分母配 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$：

$2\sin \alpha \cos \alpha -{\cos }^2\alpha =\frac{2\sin \alpha \cos \alpha -{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{2\tan \alpha -1}{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{-4-1}{4+1}=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数关系与齐次式的化切求值

核心方法：条件化切 + 分式分子分母同除 ${\cos }^2\alpha$

避坑指南：齐次分式除以 ${\cos }^2\alpha$ 的前提是 $\cos \alpha \ne 0$，需先用条件说明（若 $\cos \alpha =0$ 则 $\sin \alpha =0$，与平方和为 1 矛盾）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：齐次式化切求值是三角求值的通法，2013、2012 年四川卷理第 13 题与本题同型。

结论推广：对任意二次齐次式 $A{\sin }^2\alpha +B\sin \alpha \cos \alpha +C{\cos }^2\alpha$，均可除以 ${\sin }^2+{\cos }^2$ 化为 $\tan \alpha$ 的表达式一次求出。

方法推广：见到”一次条件 + 二次齐次目标”即条件化切、目标构造分母 ${\sin }^2+{\cos }^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2013年四川卷理-13
• 2012年四川卷理-13