2015-四川卷理-15 填-导数几何意义

本题导读

本题是四川卷中极具代表性的综合函数题。题目通过差分形式 $m,n$ 引入导数的几何背景（割线斜率），考查学生对割线斜率、切线斜率以及函数极值存在性的深刻理解。核心难点在于将 $m=n$ 或 $m=-n$ 转化为新构造函数的零点或极值点存在性问题。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)=2^x,g(x)=x^2+ax$（其中 $a\in \mathbb{R}$）.对于不相等的实数 $x_1,x_2$，设 $m=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$，$n=\frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}$.现有如下命题：

(1) 对于任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $m>0$；

(2) 对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $n>0$；

(3) 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=n$；

(4) 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=-n$. 其中的真命题有 $\underline{}$（写出所有真命题的序号）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解 $m,n$ 的几何意义：$m$ 和 $n$ 分别是函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 图像上两点连线的割线斜率。由中值定理可知，割线斜率的取值范围等同于相应区间内导数（切线斜率）的值域。
2. 分析命题（1）：$f(x)=2^x$ 是单调递增函数，其导数 $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2>0$ 恒成立。故割线斜率 $m>0$ 恒成立。
3. 分析命题（2）：$g(x)=x^2+ax$ 是抛物线，其导数 $g^{\prime }(x)=2x+a$ 的值域为 $\mathbb{R}$。易知割线斜率 $n$ 可以取到负值。
4. 分析命题（3）和（4）：
   • $m=\pm n$ 的形式等价于 $f(x_1)\mp g(x_1)=f(x_2)\mp g(x_2)$（需注意 (4) 中 $m=-n$ 对应 $f(x)+g(x)$ 的变化）。
   • 设 $h(x)=f(x)\mp g(x)$，原命题等价于“函数 $h(x)$ 是否存在两个点使得函数值相等”。
   • 罗尔定理逆向应用：只要 $h(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不是单调函数（即存在极值点，或导数 $h^{\prime }(x)$ 有零点），则一定存在不相等的 $x_1,x_2$ 满足 $h(x_1)=h(x_2)$。

✅【答案】

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①④

✍【详细解析】

Abstract

对（1）：$f(x)=2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增，对任意 $x_1\ne x_2$，$f(x_1)-f(x_2)$ 与 $x_1-x_2$ 同号，故 $m>0$ 恒成立。真命题。

对（2）：$g(x)=x^2+ax$ 为开口向上的抛物线。在对称轴左侧，$g(x)$ 单调递减，此时割线斜率 $n<0$。例如当 $a=0,x_1=-2,x_2=-1$ 时，$n=\frac{4-1}{-2-(-1)}=-3$。假命题。

对（3）：$m=n⟺\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}⟺f(x_1)-g(x_1)=f(x_2)-g(x_2)$。 令 $h(x)=f(x)-g(x)=2^x-x^2-ax$。 要使 $h(x_1)=h(x_2)$ 成立，需 $h(x)$ 不是单调函数，即 $h^{\prime }(x)=2^x\ln 2-2x-a$ 必须有零点。 令 $\varphi (x)=2^x\ln 2-2x$。求导 ${\varphi }^{\prime }(x)=2^x(\ln 2{)}^2-2$。 当 $x\to \infty$ 或 $x\to -\infty$ 时，由于指数增长快于线性增长，$\varphi (x)\to +\infty$。该函数有最小值。 若 $a$ 取得非常小（负数很大），直线 $y=a$ 可能位于 $\varphi (x)$ 图象下方，此时 $h^{\prime }(x)=0$ 无解，$h(x)$ 单调。故不满足“对于任意的 $a$”。假命题。

对（4）：$m=-n⟺f(x_1)+g(x_1)=f(x_2)+g(x_2)$。 令 $H(x)=f(x)+g(x)=2^x+x^2+ax$。 检查 $H^{\prime }(x)=2^x\ln 2+2x+a$ 是否必有零点。 设 $\psi (x)=2^x\ln 2+2x$。

• 当 $x\to +\infty$ 时，$\psi (x)\to +\infty$；
• 当 $x\to -\infty$ 时，$2^x\to 0$，$2x\to -\infty$，故 $\psi (x)\to -\infty$。 由于 $\psi (x)$ 是连续函数且值域为 $\mathbb{R}$，则对于任意实数 $-a$，方程 $\psi (x)=-a$ 必有解。 即 $H^{\prime }(x)=0$ 必有解，说明 $H(x)$ 必有极值点，由图象特征知必存在 $x_1\ne x_2$ 使得 $H(x_1)=H(x_2)$。真命题。

答案：①④

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心方法：构造函数法。将割线斜率相等的复杂形式转化为 $h(x_1)=h(x_2)$，再进一步转化为导数零点的存在性问题，这是高考试题中处理这类问题的通用模板。
• 关键点：利用指数函数 $a^x$ 与多项式函数在无穷远处的增长速度差异来判定值域。
• 避坑指南：第 (3) 问是一个常见的陷阱。许多学生会直观认为两个不同函数总有平行的割线，但在全局范围内，如果一个函数增长极快而另一个增长平缓，它们的差函数可能是单调的。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若函数 $f(x)$ 连续，则存在 $x_1,x_2$ 使得 $f(x_1)=f(x_2)$ 的充要条件是 $f(x)$ 在定义域内不单调。

• 相关知识点：拉格朗日中值定理、零点存在性定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-15 填-函数的值域与定义域
• 2014-四川卷理-19 解-等差数列的通项与前 n 项和
• 2014-四川卷理-09 单-奇偶性定义与判定