2015-天津卷理-09 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算及其基本概念。解题核心在于将复数乘积展开为代数形式 $a+bi$，并根据“纯虚数”的定义（实部为零且虚部不为零）建立关于参数 $a$ 的方程。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） $i$ 是虚数单位，若复数 $(1-2i)(a+i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开复数乘积：利用复数乘法法则 $(x+yi)(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i$ 进行展开。
2. 整理代数形式：将展开结果整理为实部与虚部两部分。
3. 运用定义：
   • 复数 $z=A+Bi$ 为纯虚数的充要条件是：$A=0$ 且 $B\ne 0$。
   • 由此建立关于实数 $a$ 的方程。

✅【答案】

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-2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代数展开 对已知复数进行乘法运算： $(1-2i)(a+i)=1\cdot a+1\cdot i-2i\cdot a-2i^2$ 由于 $i^2=-1$，则： $=a+i-2ai+2$ 将实部与虚部分开整理： $=(a+2)+(1-2a)i$

第二步：利用纯虚数定义求解 因为该复数为纯虚数，所以其实部必须为 0，虚部不为 0。

1. 实部满足：$a+2=0⟹a=-2$。
2. 检验虚部：当 $a=-2$ 时，虚部 $1-2(-2)=5\ne 0$。 符合纯虚数的定义。

答案：-2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数乘法的分配律；$i^2=-1$ 的准确代换；纯虚数的实部限制。
• 核心方法：定义法。
• 避坑指南：计算中容易在 $-2i\cdot i$ 的符号上出错（注意 $-2i^2=+2$）；同时要习惯性检查虚部是否不为 0，虽然在大多数填空题中实部为 0 即可得出唯一解。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $(x+yi)(u+vi)$ 为纯虚数，则其对应的向量在复平面内垂直于坐标轴。

• 相关知识点：共轭复数、复数的模。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2013年天津卷理-9
• 2012年天津卷理-9
• 2019-天津卷文-09 填-复数模