2015-安徽卷文-17 解-频率分布直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的计算，属于统计与概率的结合基础题。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 某企业为了了解下属部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：$[40,50),[50,60),\cdots ,[80,90),[90,100]$.

(1) 求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2) 估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；

(3) 从评分在 $[40,60)$ 的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在 $[40,50)$ 的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据所有小矩形的面积之和等于 $1$ 列方程，即可求出 $a$。
2. 评分不低于 80 对应直方图中 $[80,90)$ 和 $[90,100]$ 两个区间的频率之和。
3. 先根据频率求出 $[40,50)$ 和 $[50,60)$ 内的人数，再利用古典概型公式求解。

✅【答案】

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故此 2 人评分都在 $[40,50)$ 的概率为 $P=\frac{1}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由频率分布直方图中各小矩形的面积之和等于 $1$ 可得： $(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)\times 10=1$， 即 $0.094+a=0.1$， 解得 $a=0.006$。

(2) 评分不低于 80（即在区间 $[80,100]$ 内）的频率为： $(0.022+0.018)\times 10=0.4$。 因此，估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率为 $0.4$。

(3) 评分在 $[40,50)$ 的职工人数为 $50\times (0.004\times 10)=2$ 人； 评分在 $[50,60)$ 的职工人数为 $50\times (0.006\times 10)=3$ 人。 设 $[40,50)$ 内的 2 人为 $A_1,A_2$，$[50,60)$ 内的 3 人为 $B_1,B_2,B_3$。 从中随机抽取 2 人，总的基本事件总数为 $C_5^2=10$ 种。 其中 2 人都在 $[40,50)$（即选到 $A_1,A_2$）包含的基本事件个数为 $C_2^2=1$ 种。 故此 2 人评分都在 $[40,50)$ 的概率为 $P=\frac{1}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图性质、古典概型。
2. 核心方法：小矩形面积代表频率（纵坐标为 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$）。
3. 避坑指南：计算人数时要用“频率 $\times$ 总人数”，计算概率时注意组合数的正确运用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考统计与概率解答题的标准配置。
2. 结论推广: 推广至连续型随机变量的正态分布或样本数字特征估计。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练(Links)

• 2012-安徽卷理-17
• 2013年安徽卷理-21
• 2024-甲卷理-16 填-概率