2024-甲卷理-16 填-概率

本题导读

本题考查概率计算，以及排列数。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）有 $6$ 个相同的球，分别标有数字 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ，从中无放回地随机取 $3$ 次，每次取 $1$ 个球. 设 $m$ 为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 之差的绝对值不大于 $\frac{1}{2}$ 的概率为 _______________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 量化目标事件：设前两次取出的数字为 $a$ 、 $b$ ，第三次取出的数字为 $c$ ，则 $m=\frac{a+b}{2}$ ， $n=\frac{a+b+c}{3}$ ，先化简 $|m-n|$ 。
2. 转化约束： $|m-n|⩽\frac{1}{2}$ 等价于 $|a+b-2c|⩽3$ ，即 $2c-3⩽a+b⩽2c+3$ ，枚举范围大幅收窄。
3. 分类枚举：按 $c$ 的取值分类，统计满足条件的有序对 $(a,b)$ 数目，除以总排列数 $A_6^3=120$ 。

✅【答案】

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$\frac{7}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

🛠 第一步：样本空间与目标事件

从 6 个球中无放回地依次取 3 个，样本点总数 $N=A_6^3=6\times 5\times 4=120$ 设前两次取出的数字为 $a$ 、 $b$ ，第三次为 $c$ （三者互不相同），则 $m=\frac{a+b}{2},n=\frac{a+b+c}{3}$

🛠 第二步：化简事件条件

$m-n=\frac{3(a+b)-2(a+b+c)}{6}=\frac{a+b-2c}{6}$ 于是 $|m-n|⩽\frac{1}{2}⟺|a+b-2c|⩽3⟺2c-3⩽a+b⩽2c+3$

🛠 第三步：按 $c$ 分类枚举有序对 $(a,b)$

固定 $c$ 后， $a,b$ 从其余 5 个数字中有序选取，满足条件的排列数如下：

$c$	$a+b$ 范围	满足条件的有序对 $(a,b)$	个数
$1$	$[-1,5]$	$(2,3)$ ， $(3,2)$	$2$
$2$	$[1,7]$	$(1,3)$ ， $(3,1)$ ， $(1,4)$ ， $(4,1)$ ， $(1,5)$ ， $(5,1)$ ， $(1,6)$ ， $(6,1)$ ， $(3,4)$ ， $(4,3)$	$10$
$3$	$[3,9]$	$(1,2)$ ， $(2,1)$ ， $(1,4)$ ， $(4,1)$ ， $(1,5)$ ， $(5,1)$ ， $(2,4)$ ， $(4,2)$ ， $(1,6)$ ， $(6,1)$ ， $(2,5)$ ， $(5,2)$ ， $(2,6)$ ， $(6,2)$ ， $(4,5)$ ， $(5,4)$	$16$
$4$	$[5,11]$	$(2,3)$ ， $(3,2)$ ， $(1,5)$ ， $(5,1)$ ， $(1,6)$ ， $(6,1)$ ， $(2,5)$ ， $(5,2)$ ， $(2,6)$ ， $(6,2)$ ， $(3,5)$ ， $(5,3)$ ， $(3,6)$ ， $(6,3)$ ， $(5,6)$ ， $(6,5)$	$16$
$5$	$[7,13]$	$(1,6)$ ， $(6,1)$ ， $(3,4)$ ， $(4,3)$ ， $(2,6)$ ， $(6,2)$ ， $(3,6)$ ， $(6,3)$ ， $(4,6)$ ， $(6,4)$	$10$
$6$	$[9,15]$	$(4,5)$ ， $(5,4)$	$2$

满足条件的样本点数为 $2+10+16+16+10+2=56$

🛠 第四步：计算概率

$P=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$ 故答案为 $\frac{7}{15}$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式的化简简化、排列组合的分类枚举、古典概型概率公式。
2. 核心方法：分类讨论法（基准元枚举）、对称性分析法。
3. 避坑指南：

• 忘减互斥元素：在枚举 $a,b$ 时，必须时刻检查是否误用了已被 $c$ 占用的号码（例如 $c=2$ 时，和为 6 的组合只能是 $\{1,5\}$，不能包含 $\{2,4\}$）。
• 排列与组合混淆：本题是无放回依次抽取，样本空间 $120$ 为排列数。若枚举时只找组合集合（如 $\{2,3\}$），必须乘以 ${\text{A}}_2^2$ 转化为排列数，否则分子分母统计口径不一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有高等数学中“数理统计样本均值的波动性与鞅差序列雏形”的背景。它抽象地考查了在有限离散状态空间下，随着样本容量的增加，相邻阶段样本均值之差（ ${\bar{X}}_{k+1}-{\bar{X}}_k$ ）收敛于指定概率测度邻域的分布规律。
2. 结论推广: 设前 $k$ 次样本均值为 $m$，前 $k+1$ 次样本均值为 $n$，第 $k+1$ 次新抽样值为 $x$。根据均值递推代数关系，相邻均值偏差恒满足简化公式： $|m-n|=\frac{|x-m|}{k+1}$。若波动阈值为 $\delta$，等价于单次新抽样值与历史均值的离差受限： $|x-m|⩽(k+1)\delta$。掌握该均值极差递推通式，可直接越过繁琐的分式通分步骤。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-18 解-均匀分组概率
• 2008-新课标卷文-19 解-平均数与古典概型
• 2008-江西卷文-11 单-古典概型计数