2015-安徽卷理-12 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标系下圆与直线的位置关系。通过将极坐标方程化为直角坐标方程，将问题转化为求圆上的点到直线的距离的最大值。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 在极坐标系中，圆 $\rho =8\sin \theta$ 上的点到直线 $\theta =\frac{\pi }{3}(\rho \in \mathbb{R})$ 距离的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化圆的方程：利用 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程。
2. 转化直线方程：由 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 确定直线的斜率，写出直线的直角坐标方程。
3. 寻找几何关系：圆上的点到直线距离的最大值 $d_{max}$ 等于圆心到直线的距离 $d$ 加上圆的半径 $r$，即 $d_{max}=d+r$。
4. 计算求解：代入点到直线距离公式并求和。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化圆的极坐标方程为直角坐标方程 已知 $\rho =8\sin \theta$，两边同乘 $\rho$ 得：${\rho }^2=8\rho \sin \theta$。 代入 $x^2+y^2={\rho }^2$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 得： $x^2+y^2=8y$，即 $x^2+(y-4{)}^2=16$。 该圆的圆心为 $C(0,4)$，半径 $r=4$。

第二步：化直线的极坐标方程为直角坐标方程 直线方程为 $\theta =\frac{\pi }{3}$，即直线的斜率 $k=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$。 直线过极点 $(0,0)$，故方程为 $y=\sqrt{3}x$，化为一般式为： $\sqrt{3}x-y=0$。

第三步：计算圆心到直线的距离 $d$ 利用点到直线距离公式，计算圆心 $C(0,4)$ 到直线 $\sqrt{3}x-y=0$ 的距离： $d=\frac{|\sqrt{3}\times 0-4|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{2}=2$。

第四步：求距离的最大值 圆上的点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径： $d_{max}=d+r=2+4=6$。

故答案为：6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标转换核心：熟记 ${\rho }^2=x^2+y^2$，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$。这是解决极坐标问题的基本功。
2. 模型识别：圆上点到直线的距离问题，首选“心线距 $\pm$ 半径”模型。最大值为 $d+r$，最小值为 $d-r$（若直线与圆不相交）。
3. 计算陷阱：直线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 是一条过原点的直线。注意 $\rho \in \mathbb{R}$ 说明它是一条完整的直线，而非射线。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 本题也可以直接在极坐标系下利用参数方程 $\rho =8\sin \theta$ 表示出圆上点坐标为 $(4\sin 2\theta ,4-4\cos 2\theta )$（直角系下），进而建立距离函数求最值，但几何法更为简洁。
• 变式思考: 若要求该圆上的点到直线距离的最小值，结果是多少？ (提示：$d<r$，说明直线与圆相交，故最小距离为 0。)

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

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