2015-山东卷文-03 单-指数幂比较

本题导读

$a,b$ 同底（$0.6$）可按 $y=0.6^x$ 的单调性比较；$c$ 底数大于 1，用”与 1 比大小”作媒介即可。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 设 $a=0.6^{0.6}$，$b=0.6^{1.5}$，$c=1.5^{0.6}$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系是 ()

A. $a<b<c$　　　　　B. $a<c<b$　　　　　C. $b<a<c$　　　　　D. $b<c<a$

🔍【思路分析】

破题导航

$a,b$ 同底（$0.6$）可按 $y=0.6^x$ 的单调性比较；$c$ 底数大于 1，用”与 1 比大小”作媒介即可。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y=0.6^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，且 $0.6<1.5$，所以 $b=0.6^{1.5}<a=0.6^{0.6}$。

又 $0<a<1$（指数为正、底小于 1），而 $c=1.5^{0.6}>1.5^0=1$。

所以 $b<a<c$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的单调性；借助中间量比较大小

核心方法：同底看单调、同指数看底数、以 1（或 0）为媒介

避坑指南：$0.6^{0.6}<1$ 而 $1.5^{0.6}>1$，这一组”跨 1”的比较是本题关键；别把 $0.6^{0.6}$ 与 $1.5^{0.6}$ 当成同底直接比。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三个数比大小是高考高频小题，本题给出”同底不同指 + 异底同指”的标准组合。

结论推广：一般地：$0<a^x<1$（$0<a<1$，$x>0$）；$a^x>1$（$a>1$，$x>0$）。两类函数交手时优先找 0 或 1 作媒介。

方法推广：“同底化、同指化、找媒介”是幂指比较大小的通用三板斧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练(Links)

• 2014-山东卷理-03 单-函数定义域
• 2015-山东卷理-14 填-指数函数
• 2015-山东卷理-03 单-图象变换