2014-山东卷理-03 单-函数定义域

本题导读

本题考查复合函数的定义域求解。核心考点在于根式下表达式非负、分母不为零以及对数函数真数大于零这三个基本限制条件的综合应用。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{({\log }_{2}x{)}^2-1}}$ 的定义域为()

A. $(0,\frac{1}{2})$　B. $(2,+\infty )$　C. $(0,\frac{1}{2})\cup (2,+\infty )$　D. $(0,\frac{1}{2}]\cup [2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数结构确定限制条件：
   • 真数条件：对数式 ${\log }_{2}x$ 要求真数 $x>0$。
   • 根式与分母条件：根号在分母上，要求根号内的表达式严格大于 $0$，即 $({\log }_{2}x{)}^2-1>0$。
2. 解对数不等式：
   • 将 $({\log }_{2}x{)}^2>1$ 转化为一元二次不等式的形式（如设 $t={\log }_{2}x$）。
   • 利用对数函数的单调性，将对数不等式还原为关于 $x$ 的不等式。
3. 求交集确定范围：汇总所有条件，写成区间形式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出不等式组 根据题意，自变量 $x$ 需满足：

$$\{\begin{array}{l}x>0\\ ({\log }_{2}x{)}^2-1>0\end{array}$$

第二步：解二次不等式 由 $({\log }_{2}x{)}^2-1>0$ 得： $({\log }_{2}x{)}^2>1$ 解得： ${\log }_{2}x>1\text{或}{\log }_{2}x<-1$

第三步：还原为 $x$ 的范围 利用对数函数 $y={\log }_{2}x$ 在其定义域内单调递增的性质： 4. 由 ${\log }_{2}x>1$ 得 $x>2^1=2$； 5. 由 ${\log }_{2}x<-1$ 得 $0<x<2^{-1}=\frac{1}{2}$。

第四步：综合条件 结合 $x>0$，定义域为 $(0,\frac{1}{2})\cup (2,+\infty )$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：求函数定义域的三个“法宝”：①分母 $\ne 0$；②偶次根号内 $\ge 0$；③对数真数 $>0$。当根号在分母上时，限制条件合并为内层 $>0$。

2. 核心方法：换元思想。将 ${\log }_{2}x$ 看作一个整体 $t$，先解关于 $t$ 的不等式，再利用对数函数的单调性“去对数”。

3. 避坑指南：注意符号的开闭。本题中根号在分母，不能取等号，故 D 选项是典型的干扰项。同时不要漏掉对数真数 $x>0$ 这一基础前提（虽然本题计算过程中自动满足）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 反函数、对数换底公式。

2. 结论推广: 若底数 $0<a<1$，则解对数不等式时不等号方向需翻转。

3. 方法推广: 解决复合函数问题时，遵循“由外向内”剥离限制条件的原则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 04.01 指数与对数运算
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域
• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2013-陕西卷理-01 单-函数定义域