2007-广东卷文-19 解-切圆方程与椭圆交点存在性

本题导读

本题考查圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆心在第二象限、半径为 $2\sqrt{2}$ 的圆 $C$ 与直线 $y=x$ 相切于坐标原点 $O$．椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1$ 与圆 $C$ 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10. （1）求圆 $C$ 的方程； （2）试探求 $C$ 上是否存在异于原点的点 $Q$，使 $Q$ 到椭圆右焦点 $F$ 的距离等于线段 $OF$ 的长. 若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 圆与 $y=x$ 切于原点，圆心在过 $O$ 且垂直于 $y=x$ 的直线 $y=-x$ 上；设 $(u,v)$，$v=-u$，$u<0$。
2. $u^2+v^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8\Rightarrow u=-2$，$v=2$，圆 $C$：$(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=8$。
3. (2) 交点到两焦点距离之和为 $2a=10\Rightarrow a=5$，$c=\sqrt{25-9}=4$，$F(4,0)$，$|OF|=4$。
4. $|QF|=4⟺(x-4{)}^2+y^2=16⟺x^2+y^2-8x=0$。
5. 与圆 $C$（$x^2+y^2+4x-4y=0$）联立相减：$-12x+4y=0$，即 $y=3x$。
6. 代入 $x^2+y^2-8x=0$：$10x^2-8x=0$，$x=0$（原点）或 $x=\frac{4}{5}$，$y=\frac{12}{5}$。
7. 验证 ${\left(\frac{4}{5}+2\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}-2\right)}^2=\frac{196+4}{25}=8$ 在圆 $C$ 上，且异于原点 ⟹ 存在。

✅【答案】

点击查看答案

（1）$(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=8$；（2）存在，$Q\left(\frac{4}{5},\frac{12}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设圆心为 $C_0(u,v)$．圆 $C$ 与直线 $y=x$ 相切于原点，故半径 $C_{0}O$ 与 $y=x$ 垂直，圆心在直线 $y=-x$ 上，即 $v=-u$． 又圆心在第二象限（$u<0<v$），且 $|C_{0}O|=2\sqrt{2}$，故 $u^2+v^2=8$，解得 $u=-2$，$v=2$． 因此圆 $C$ 的方程为 $(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=8$，即 $x^2+y^2+4x-4y=0$． （2）若 $a⩽3$，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和 $2a⩽6$，与题设的和为 10 矛盾，故 $a>3$． 由椭圆定义，交点到两焦点的距离之和等于 $2a$，所以 $2a=10$，$a=5$，椭圆为 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，半焦距 $c=\sqrt{25-9}=4$，右焦点 $F(4,0)$，$|OF|=4$． 设 $Q(x,y)$ 在圆 $C$ 上且 $|QF|=4$，则 $(x-4{)}^2+y^2=16$，即 $x^2+y^2-8x=0$．　① 圆 $C$：$x^2+y^2+4x-4y=0$．　② ①$-$②：$-12x+4y=0$，即 $y=3x$．代入 ①：$x^2+9x^2-8x=0$，$x(10x-8)=0$． $x=0$ 时 $y=0$，得原点 $O$（舍）；$x=\frac{4}{5}$ 时 $y=\frac{12}{5}$． 验证：${\left(\frac{4}{5}+2\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}-2\right)}^2=\frac{196}{25}+\frac{4}{25}=8$，该点确在圆 $C$ 上，且异于原点． 故存在满足条件的点 $Q\left(\frac{4}{5},\frac{12}{5}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切圆方程与椭圆交点存在性

核心方法：切于原点 ⟹ 圆心在 $y=-x$ 上，$u^2+v^2=8$；$2a=10$ 定 $a=5$，$|QF|=4$ 与圆 $C$ 联立消 $x^2+y^2$

避坑指南：椭圆交点条件用定义 $2a=10$ 而非解交点坐标；解得 $x=0$ 是原点须舍去，保留 $Q\left(\frac{4}{5},\frac{12}{5}\right)$ 并回代圆方程验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切圆与椭圆交汇、存在性设问为圆锥曲线综合题（2009 广东文 19 包围圆姊妹题）

结论推广：过原点的切线问题圆心落在过原点且垂直于切线的直线上；椭圆交点条件优先用定义 $2a$

方法推广：存在性问题套路：设点、列距离方程、与已知曲线联立消元、检验异于特解并回代验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练(Links)

• 2009-广东卷文-19 解-椭圆与包围圆
• 2015-广东卷文-20 解-圆的轨迹
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2010-广东卷文-06 单-直线与圆相切