2015-广东卷理-09 填-指数运算

本题导读

本题考查指数幂的运算。解题关键在于将根式统一化为分数指数幂的形式，并利用指数幂的乘法法则（底数相同，指数相加）进行化简求值。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 计算：$\sqrt{2}\times 4^{\frac{1}{4}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数：将 $\sqrt{2}$ 和 $4$ 都化为以 $2$ 为底的幂的形式。
   • $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$
   • $4=2^2$
2. 运用性质：利用幂的乘方公式 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 化简 $4^{\frac{1}{4}}$。
3. 指数求和：利用同底数幂乘法公式 $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ 完成最后计算。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

1. 原式变形： $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$ $4^{\frac{1}{4}}=(2^2{)}^{\frac{1}{4}}=2^{2\times \frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}$

2. 进行乘法运算： $\text{原式}=2^{\frac{1}{2}}\times 2^{\frac{1}{2}}$

3. 指数相加： $\text{原式}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=2^1=2$

最终答案为：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 根式与幂的转换：$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ 是处理此类题目最基础的工具。
• 运算顺序：先化简底数，再处理指数，最后合并。
• 易错点：避免将 $4^{\frac{1}{4}}$ 误算为 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 相关知识点:
  • 分数指数幂：负分数指数幂表示倒数的正分数指数幂，$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{m/n}}$。
  • 对数运算：此类计算题常与对数（$\log$）运算结合考查。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.15 函数凹凸性定义
• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练(Links)

• 2013年广东卷理-9
• 2013年广东卷理-21
• 2010-广东卷理-03