2024-甲卷理-18 解-数列错位相减法

本题导读

本题考查数列的通项公式。核心在于前n项和与通项转化法（作差法）、错位相减法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和. 已知 $4 S_{n} = 3 a_{n} + 4$ .

（1）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（2）设 $b_{n} = (- 1)^{n - 1} n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

第一问（退项作差求通项）：由于已知式中同时混杂了和式 $S_{n}$ 与通项 $a_{n}$ ，首要任务是“去 $S$ 留 $a$ ”。写出 $n - 1$ 时的递推式，两式相减启动公式 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n ⩾ 2)$ ，化简可得 ${a_{n}}$ 的等比特征。最后别忘了令 $n = 1$ 测算首项。

第二问（化简与错位相减求和）：首先将第一问求得的 $a_{n}$ 注入 $b_{n}$ 中。此时务必小心处理幂次的符号： $(- 1)^{n - 1}$ 与 $(- 3)^{n - 1}$ 中的负号可完美抵消合并为正数 $3^{n - 1}$ 。化简后 $b_{n}$ 呈现清晰的“等差 $\times$ 等比”骨架，直接启动列式、同乘公比 3、错位对齐相减的“三步走”标准程序。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a_{n} = 4 \cdot (- 3)^{n - 1}$

(2) $T_{n} = (2 n - 1) \cdot 3^{n} + 1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 ${a_{n}}$ 的通项公式：

计算首项 $a_{1}$ ：

当 $n = 1$ 时， $4 S_{1} = 3 a_{1} + 4$ ．

由于 $S_{1} = a_{1}$ ，则 $4 a_{1} = 3 a_{1} + 4$ ，解得 $a_{1} = 4$ ．

建立递推关系：

已知 $4 S_{n} = 3 a_{n} + 4$ ①，

当 $n \geq 2$ 时， $4 S_{n - 1} = 3 a_{n - 1} + 4$ ②．

① - ② 得： $4 (S_{n} - S_{n - 1}) = 3 a_{n} - 3 a_{n - 1}$ ．

代入 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ ：

$4 a_{n} = 3 a_{n} - 3 a_{n - 1} ⟹ a_{n} = - 3 a_{n - 1}$ ．

得出结论：

由上式可知，数列 ${a_{n}}$ 是以 $a_{1} = 4$ 为首项， $q = - 3$ 为公比的等比数列．

故通项公式为： $a_{n} = 4 \cdot (- 3)^{n - 1}$ ．

（2）求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ：

化简 $b_{n}$ ：

$b_{n} = (- 1)^{n - 1} n a_{n} = (- 1)^{n - 1} \cdot n \cdot 4 \cdot (- 3)^{n - 1}$

$b_{n} = 4 n \cdot (- 1)^{n - 1} \cdot (- 1)^{n - 1} \cdot 3^{n - 1}$

因为 $(- 1)^{2 n - 2} = 1$ ，所以 $b_{n} = 4 n \cdot 3^{n - 1}$ ．

列出和式 $T_{n}$ ：

$T_{n} = 4 [1 \cdot 3^{0} + 2 \cdot 3^{1} + 3 \cdot 3^{2} + \dots + n \cdot 3^{n - 1}]$ ③．

列出错位和式 $3 T_{n}$ ：

$3 T_{n} = 4 [1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \dots + n \cdot 3^{n}]$ ④．

错位相减：

③ - ④ 得：

$- 2 T_{n} = 4 [1 + (2 - 1) \cdot 3^{1} + (3 - 2) \cdot 3^{2} + \dots + (n - (n - 1)) \cdot 3^{n - 1} - n \cdot 3^{n}]$

$- 2 T_{n} = 4 [1 + 3^{1} + 3^{2} + \dots + 3^{n - 1} - n \cdot 3^{n}]$

利用等比求和公式化简：

$- 2 T_{n} = 4 [\frac{1 ( 1 - 3 ^{n} )}{1 - 3} - n \cdot 3^{n}]$

$- 2 T_{n} = 4 [\frac{3 ^{n} - 1}{2} - n \cdot 3^{n}]$

$- 2 T_{n} = 2 (3^{n} - 1) - 4 n \cdot 3^{n} = (2 - 4 n) 3^{n} - 2$ ．

得出最终结果：

$T_{n} = \frac{( 2 - 4 n ) 3 ^{n} - 2}{- 2} = (2 n - 1) 3^{n} + 1$ ．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列 $S_{n}$ 与 $a_{n}$ 关系式 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 的适用条件（ $n ⩾ 2$ ）、负数底数指数幂的奇偶性合并、差比数列的错位相减核心算法。

核心方法：退项作差法、错位相减法。

避坑指南：

避坑指南 1（第一问首项游离于通项之外）：在利用 $S_{n} - S_{n - 1}$ 算出 $a_{n} = - 3 a_{n - 1}$ 时，这只是递推律。务必写出“当 $n = 1$ 时 $a_{1} = 4$ ”，说明该通项公式对第一项也成立（不发生断裂分段）。

避坑指南 2（第二问未化简负号引发灾难）：若没有发现 $(- 1)^{n - 1}$ 与 $(- 3)^{n - 1}$ 的合并关系，带着 $- 3$ 的公比去作错位相减（即计算 $T_{n} - (- 3) T_{n}$ ），虽理论可行，但代数符号的极性反转会把草稿纸直接写崩溃。考场铁律：凡见等比项带有交替负号，先去前面寻找能产生偶数次幂的救命稻草进行符号中和。

避坑指南 3（错位相减的尾巴符号错误）：在执行 ①-② 时，② 式的最后一项 $n \cdot 3^{n}$ 前面是没有任何项与之相减的（对应 0 减去它）。故下来必须是带着负号的 $- n \cdot 3^{n}$ 。此处的负号是全国 80% 考生在错位相减法中阵亡的快速求解点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第二册第四章《数列》中“等比数列前n项和”课后探究题。其高等数学背景为离散函数的差分方程与级数求和。错位相减法本质上是在离散域内寻找一个“乘法积分因子”，通过平移抵消消去多项式阶数，实现对一阶等差等比混合级数的简化求和。

结论推广: （差比数列求和的待定系数免笔公式）：设差比数列通项为 $c_{n} = (A n + B) q^{n}$ （其中 $q \neq = 1$ ）。其前 $n$ 项和 $T_{n}$ 恒能被预测出一种确定的代数构型： $T_{n} = (C n + D) q^{n} + E$ 。通过待定系数强行匹配，其中常数系数满足微积分级的极简对应： $C = \frac{A}{q - 1}$ $D = \frac{B}{q - 1} - \frac{A}{( q - 1 ) ^{2}}$ $E = - D$ （仅当首项起算完整时适用调平）本题中 $b_{n} = \frac{4}{3} n \cdot 3^{n}$ ，即 $A = \frac{4}{3}, B = 0, q = 3$ 。代入速算网可验证出 $C = \frac{2}{3}, D = - \frac{1}{3}, E = \frac{1}{3}$ 。此时 $T_{n} = (\frac{2}{3} n - \frac{1}{3}) 3^{n} + 1 = (2 n - 1) 3^{n - 1} \cdot 3 + 1 = (2 n - 1) 3^{n} + 1$ 。（注意本题 $b_{n}$ 为 $3^{n - 1}$ 故稍有偏移）。熟练掌握待定系数法可在交卷前 30 秒实现大题终极验算防御。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.03 数列通项公式求法全攻略

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2021-天津卷-19 解-数列综合

2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比

2013-江西卷理-03 单-等比中项

∑ ( Math )

Explorer

2024-甲卷理-18 解-数列错位相减法

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks