2015-新课标I卷文-01 单-集合

本题导读

考查描述法给出的集合与有限集的交集。把 $A$ 的元素按 $3n+2$ 列举出来，数一数有几个落在 $B$ 中即可。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知集合 $A=\{x\mid x=3n+2,n\in \mathbf{N}\}$，$B=\{6,8,10,12,14\}$，则集合 $A\cap B$ 中的元素个数为 ()

A. $5$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. $A=\{3n+2\mid n\in \mathbf{N}\}=\{2,5,8,11,14,\cdots \}$，$3n+2$ 逐一列举。
2. 与 $B$ 对照：$8$ 与 $14$ 同时在两个集合中。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$A$ 中的元素形如 $3n+2$（$n$ 为自然数），依次为 $2,5,8,11,14,17,\cdots$

与 $B=\{6,8,10,12,14\}$ 对照，公共元素为 $8$ 与 $14$，即 $A\cap B=\{8,14\}$.

所以 $A\cap B$ 中的元素个数为 $2$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的描述法与列举法互化；交集运算。

2. 核心方法：“描述式列举 → 逐个对照检验”，小集合问题列举最可靠。

3. 避坑指南：① 注意 $n\in \mathbf{N}$ 包含 $n=0$，故 $2\in A$，漏掉 $0$ 虽不影响本题答案但属于概念漏洞；② 问的是”元素个数”，别把集合本身当答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：集合运算是全国卷固定的第 1 题，载体在”不等式解集 / 描述法数列 / 偶集”之间轮换，难度定位送分。

2. 结论推广: 若 $B$ 改为 $\{x\mid x=2k,k=3,4,\cdots ,7\}$，则 $A\cap B=\{8,14\}$ 不变——判定的本质是”$3n+2$ 且为偶数”$⟺n$ 为偶数。

3. 方法推广: 描述法集合先化列举（或找通项特征），再作交并补；元素个数问题务必数完再答。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-1
• 2014-新课标I卷理-01 单-交集及其运算