2015-新课标I卷理-14 填-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的顶点坐标以及圆的标准方程。通过圆心在坐标轴上的位置关系以及圆经过椭圆顶点的几何特征，利用圆心到各点距离相等（半径）建立方程求解。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 一个圆经过椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 的三个顶点，且圆心在 $x$ 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定椭圆顶点：由椭圆方程可求出长轴、短轴端点坐标。
2. 分析圆的经过点：由于圆心在 $x$ 轴上且圆经过三个顶点，根据对称性，这三个顶点必然包含椭圆的上下两个顶点以及右顶点（因为圆心在 $x$ 轴正半轴）。
3. 建立半径等式：设圆心坐标为 $(a,0)$ ($a>0$)，利用圆心到上下顶点的距离等于到右顶点的距离（均为半径 $R$）列方程。
4. 求解并写出方程：解出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程公式。

✅【答案】

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$(x-\frac{3}{2}{)}^2+y^2=\frac{25}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求椭圆顶点坐标： 椭圆方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，则 $a^2=16,b^2=4$。 顶点分别为：左顶点 $(-4,0)$，右顶点 $(4,0)$，上顶点 $(0,2)$，下顶点 $(0,-2)$。

2. 确定圆心与半径关系： 已知圆心 $M$ 在 $x$ 轴正半轴上，设 $M(a,0)$ ($a>0$)。 根据对称性，圆经过的三个顶点必为 $(0,2)$，$(0,-2)$ 和 $(4,0)$。 圆心到这些点的距离相等（半径 $R$）： $R^2=(4-a{)}^2+(0-0{)}^2$ （圆心到右顶点的距离平方） $R^2=(0-a{)}^2+(2-0{)}^2$ （圆心到上顶点的距离平方）

3. 列方程求解： $(4-a{)}^2=a^2+4$ $16-8a+a^2=a^2+4$ $8a=12⟹a=\frac{3}{2}$。

4. 计算半径 $R$： $R^2=a^2+4=(\frac{3}{2}{)}^2+4=\frac{9}{4}+\frac{16}{4}=\frac{25}{4}$。

5. 写出标准方程： 圆心为 $(\frac{3}{2},0)$，半径平方为 $\frac{25}{4}$。 方程为：$(x-\frac{3}{2}{)}^2+y^2=\frac{25}{4}$。

最终答案为：$(x-\frac{3}{2}{)}^2+y^2=\frac{25}{4}$


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 对称性的应用：圆心在 $x$ 轴上，说明圆关于 $x$ 轴对称，因此如果圆经过 $(0,2)$，必经过其关于 $x$ 轴的对称点 $(0,-2)$。
2. 位置判定：题目强调圆心在 $x$ 轴“正半轴”，排除了左顶点 $(-4,0)$ 的可能性。
3. 易错提醒：圆的标准方程要求写成 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ 的形式，不要漏掉平方或写错正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若圆经过椭圆的四个顶点，则圆心必为原点，此时要求椭圆为圆（即 $a=b$）。
• 方法推广:
  • 中垂线法：线段 $(0,2)$ 与 $(4,0)$ 的中垂线与 $x$ 轴的交点即为圆心。中点为 $(2,1)$，斜率为 $k=\frac{0-2}{4-0}=-\frac{1}{2}$，中垂线斜率为 $2$。方程为 $y-1=2(x-2)$，令 $y=0$ 得 $x=\frac{3}{2}$。
• 相关知识点:

  • - **圆幂定理**：在涉及圆与圆锥曲线交点坐标时，有时可利用相交弦性质简化计算。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.04 椭圆与双曲线性质深度对比表

类题演练(Links)

• 2015-上海卷理-21 解-椭圆性质
• 2025-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2025-天津卷-18 解-椭圆综合