2015-新课标I卷理-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题是 2015 年新课标 1 卷理科的最后一道选做题。第一问考查绝对值不等式的常规解法，侧重分类讨论思维；第二问考查分段函数图像围成的几何图形面积，通过参数 $a$ 建立面积函数并求解不等式，体现了数形结合思想。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） （选修 4-5：不等式选讲） 已知函数 $f(x)=|x+1|-2|x-a|$，$a>0$.

(1) 当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)>1$ 的解集；

(2) 若 $f(x)$ 的图像与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 6，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（解不等式）：
   • 将 $a=1$ 代入，得到 $f(x)=|x+1|-2|x-1|$。
   • 利用零点分段法，以 $x=-1$ 和 $x=1$ 为分界点，将数轴分为 $(-\infty ,-1)$，$[-1,1)$，$[1,+\infty )$ 三段讨论。
   • 去掉绝对值符号，分别解一元一次不等式，最后取并集。
2. 第二问（面积问题）：
   • 同样采用零点分段法（此时分界点为 $-1$ 和 $a$）将 $f(x)$ 写成分段函数形式。
   • 确定函数图象与 $x$ 轴的两个交点坐标（即底边上的两点）以及图象的最高点（顶点）。
   • 根据图象形状判定其围成的图形确实为三角形，利用面积公式 $S=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}$ 建立关于 $a$ 的不等式求解。

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不等式的解集为 $(\frac{2}{3},2)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求不等式 $f(x)>1$ 的解集 当 $a=1$ 时，$f(x)=|x+1|-2|x-1|>1$。

1. 当 $x<-1$ 时，原式化为 $-(x+1)+2(x-1)>1⟹x-3>1⟹x>4$。与 $x<-1$ 矛盾，无解。

2. 当 $-1⩽x<1$ 时，原式化为 $(x+1)+2(x-1)>1⟹3x-1>1⟹x>\frac{2}{3}$。 故此时解集为 $(\frac{2}{3},1)$。

3. 当 $x⩾1$ 时，原式化为 $(x+1)-2(x-1)>1⟹-x+3>1⟹x<2$。 故此时解集为 $[1,2)$。 综上所述，不等式的解集为 $(\frac{2}{3},2)$。

(2) 求 $a$ 的取值范围

1. 写出分段函数形式： $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1-2a,& x<-1\\ 3x+1-2a,& -1⩽x⩽a\\ -x+1+2a,& x>a\end{array}$
2. 确定图象关键点：
   • 函数与 $x$ 轴交点（令 $f(x)=0$）： 在 $x\in [-1,a]$ 段，$3x=2a-1⟹x_1=\frac{2a-1}{3}$； 在 $x>a$ 段，$x=2a+1⟹x_2=2a+1$。
   • 函数的最高点（在转折点 $x=a$ 处）： $f(a)=|a+1|-0=a+1$（由于 $a>0$，此值为正）。
3. 计算三角形面积： 底边长 $L=|x_2-x_1|=(2a+1)-\frac{2a-1}{3}=\frac{6a+3-2a+1}{3}=\frac{4a+4}{3}$。 三角形的高 $H=f(a)=a+1$。 面积 $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4(a+1)}{3}\cdot (a+1)=\frac{2(a+1{)}^2}{3}$。
4. 解不等式： $\frac{2(a+1{)}^2}{3}>6⟹(a+1{)}^2>9⟹a+1>3$ 或 $a+1<-3$。 因为 $a>0$，所以 $a>2$。 故 $a$ 的取值范围是 $(2,+\infty )$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 零点分段法的严谨性：绝对值不等式必须通过零点分段保证每一段内表达式的符号确定。
2. 图象感知：绝对值函数的组合通常由折线组成。本题中由于 $|x-a|$ 的系数为 $2$ 且为减项，图象在 $x=a$ 左侧陡峭上升，右侧平缓下降，与 $x$ 轴恰好围成一个三角形。
3. 参数范围限制：在开方求 $a$ 时，必须结合题设条件 $a>0$ 进行取舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于函数 $f(x)=|x-m|-k|x-n|$，若 $k>1$，该图象始终会与 $x$ 轴围成一个封闭的三角形。
• 方法推广:
  • 几何意义法：$|x-a|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $a$ 的距离。第一问也可理解为“到 $-1$ 的距离”比“到 $1$ 的距离的两倍”多 $1$。
• 相关知识点:

  • - **三角形面积通用公式**：坐标系下利用顶点坐标 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 使用行列式求面积。
    

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 11.04 三角形面积公式

类题演练(Links)

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