2023-甲卷文-23 解-不等式选讲

本题导读

本题考查绝对值函数。核心在于分段讨论法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）已知 $a>0$，函数 $f(x)=2|x-a|-a$．

（1）求不等式 $f(x)<x$ 的解集；

（2）若曲线 $y=f(x)$ 与 $x$轴所围成的图形的面积为 $2$，求 $a$．

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✅【答案】

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(1) 解集为 $\{x\mid \frac{a}{3}<x<3a\}$

(2) $a=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求不等式 $f(x)<x$ 的解集

1. 分段去掉绝对值：

   根据绝对值的定义，将 $f(x)$ 改写为分段函数：

   $f(x)=\{\begin{array}{ll}2[-(x-a)]-a=a-2x,& x⩽a\\ 2(x-a)-a=2x-3a,& x>a\end{array}$

2. 分类讨论解不等式：

   • 情况一：当 $x⩽a$ 时：

     由 $f(x)<x$ 得：$a-2x<x⟹3x>a⟹x>\frac{a}{3}$．

     结合前提条件 $x⩽a$，得到解区间为 $(\frac{a}{3},a]$．

   • 情况二：当 $x>a$ 时：

     由 $f(x)<x$ 得：$2x-3a<x⟹x<3a$．

     结合前提条件 $x>a$，得到解区间为 $(a,3a)$．

3. 汇总结论：

   合并两个区间的解：$(\frac{a}{3},a]\cup (a,3a)=(\frac{a}{3},3a)$．

   结论：不等式的解集为 $\{x\mid \frac{a}{3}<x<3a\}$．

（2）若围成图形面积为 $2$，求 $a$ 的值

1. 确定函数图象特征：

   函数 $y=f(x)=2|x-a|-a$ 的图象是一个 $V$ 字形射线结构．

   • 顶点坐标：当 $x=a$ 时，$f(a)=-a$．故顶点为 $V(a,-a)$．

   • 与 $x$ 轴交点：令 $f(x)=0$，得 $2|x-a|=a⟹|x-a|=\frac{a}{2}$．

     解得 $x_1=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}$，以及 $x_2=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$．

     两个交点分别为 $A(\frac{a}{2},0)$ 和 $B(\frac{3a}{2},0)$．

2. 建立面积方程：

   图象与 $x$ 轴围成的图形是一个以 $AB$ 为底，顶点 $V$ 到 $x$ 轴距离为高的三角形．

   • 底边长 $L=|x_2-x_1|=\frac{3a}{2}-\frac{a}{2}=a$．

   • 高 $h=|0-(-a)|=a$．

     三角形面积 $S=\frac{1}{2}\times L\times h=\frac{1}{2}a\cdot a=\frac{1}{2}{a}^2$．

3. 求解参数 $a$：

   已知面积 $S=2$，则：

   $\frac{1}{2}{a}^2=2⟹a^2=4$

   因为 $a>0$，所以解得 $a=2$．

结论：$a$ 的值为 $2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式的分段消去法、绝对值图象折点与截距的几何判定、三角形面积。
2. 核心方法：零点分段讨论法、数形结合法。
3. 避坑指南：

• 交集漏判定：第一问在各分段内解出一次不等式后，必须与该段的前提条件（如 $x⩽a$）求交集，不可直接作为该分支的最终解。
• 高的绝对值：计算几何图形面积时，线段长度及图形的高必须为正数。由于顶点纵坐标为 $-a$ 且 $a>0$，则高 $h=|-a|=a$，切勿错写为 $-a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于选考模块“不等式选讲”的经典解答题。将一元绝对值不等式与平面解析几何的面积度量横向结合，侧重考查数形结合的数学思想。
2. 结论推广：对于任意标准绝对值函数 $y=k|x-m|+n(k>0,n<0)$，其图象呈 $V$ 字形，顶点为 $(m,n)$。当该图象与 $x$ 轴相交时，围成的三角形底边长固定为 $\left|\frac{2n}{k}\right|$，高为 $|n|$。因此，其与 $x$ 轴围成的三角形面积通用公式为：$S=\frac{n^2}{k}$。在本题中代入 $k=2,n=-a$，可直接得到 $S=\frac{(-a{)}^2}{2}=\frac{a^2}{2}$，利用此二级结论可实现填空、选择题型的快速求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2013-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式
• 2013-重庆卷理-16 填-绝对值不等式