2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式

本题导读

不等式选讲。（1）$a=1$ 后按 $x<-1$、$-1⩽x<1$、$x⩾1$ 三段去绝对值；（2）图象与 $x$ 轴围成三角形，顶点为两个零点与折点，面积关于 $a$ 的不等式解出范围。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知函数 $f(x)=|x+1|-2|x-a|$，$a>0$.

(1) 当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)>1$ 的解集；

(2) 若 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 6，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$f(x)=|x+1|-2|x-1|$，按 $x<-1$、$-1⩽x<1$、$x⩾1$ 三段化简解不等式。
2. （2）零点 $x=-1$（处 $f<0$）与 $x=a$（处 $f>0$）；两个图象零点为 $x_1=\frac{2a-1}{3}$ 与 $x_2=2a+1$。
3. 三角形以 $x_1,x_2$ 为底、折点 $(a,a+1)$ 为顶：$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4(a+1)}{3}\cdot (a+1)>6$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\left(\frac{2}{3},2\right)$

(2) $a>2$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $a=1$ 时 $f(x)=|x+1|-2|x-1|$.

• $x⩾1$：$f=(x+1)-2(x-1)=3-x>1⟺x<2$，得 $1⩽x<2$；
• $-1⩽x<1$：$f=(x+1)+2(x-1)=3x-1>1⟺x>\frac{2}{3}$，得 $\frac{2}{3}<x<1$；
• $x<-1$：$f=-(x+1)+2(x-1)=x-3>1⟺x>4$，与 $x<-1$ 矛盾，无解.

综上，解集为 $\left(\frac{2}{3},2\right)$.

（2） $f(x)$ 是分段一次函数，折点在 $x=-1$ 与 $x=a$：$f(-1)=-2(a+1)<0$，$f(a)=a+1>0$.

求图象与 $x$ 轴的交点：

• $-1⩽x⩽a$：$f=(x+1)+2(x-a)=3x+1-2a=0\Rightarrow x_1=\frac{2a-1}{3}$；
• $x>a$：$f=(x+1)-2(x-a)=-x+2a+1=0\Rightarrow x_2=2a+1$（$x<-1$ 段无零点，$x-2a-1=0$ 的根不在该段）.

由 $x_1\in (-1,a)$、$x_2>a$ 知，图象在 $[x_1,x_2]$ 上位于 $x$ 轴上方，与 $x$ 轴围成三角形，顶点为 $\left(x_1,0\right)$、$(a,a+1)$、$\left(x_2,0\right)$.

底边长 $x_2-x_1=(2a+1)-\frac{2a-1}{3}=\frac{4(a+1)}{3}$，高为 $a+1$，故

$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4(a+1)}{3}\cdot (a+1)=\frac{2(a+1{)}^2}{3}.$

由 $S>6$ 得 $(a+1{)}^2>9$，又 $a>0$，故 $a+1>3$，即

$a>2.$

所以 $a$ 的取值范围是 $(2,+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含绝对值的不等式解法（零点分段）；含绝对值的函数图象；三角形面积与不等式。

2. 核心方法：“零点分段”去绝对值是万能起手；第二问把”图象围面积”翻译成”找零点与折点坐标”。

3. 避坑指南：① （1）第三段解出 $x>4$ 与前提 $x<-1$ 矛盾要会舍去；② （2）中围成三角形的顶点是”两个零点 + 折点 $(a,a+1)$“，折点 $(-1,-2a-2)$ 在 $x$ 轴下方不参与围形，画草图判断是关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：不等式选讲（选修 4-5）中”|x-p| 型函数与图象围面积”是高频组合，本质是绝对值函数的图象与分段一次函数的综合。

2. 结论推广: 若面积条件改为小于 $\frac{2}{3}$，则 $(a+1{)}^2<1$ 与 $a>0$ 矛盾——说明该三角形面积下确界为 $\frac{2}{3}$（$a\to 0^{+}$），命题时参数范围的”出界”就是这样控制的。

3. 方法推广: 绝对值函数图象问题三步：零点分界 → 各段化直 → 画折线图；凡涉及面积/交点，先在图上标注关键点坐标再列式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-24 解-绝对值不等式