2015-江苏卷-03 填-复数模

本题导读

本题考查复数模的计算及其运算性质。利用复数幂的模等于模的幂这一性质，可以绕过复杂的开方运算直接求得结果。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 设复数 $z$ 满足 $z^2=3+4i$ ($i$ 是虚数单位)，则 $z$ 的模为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别性质：复数模的运算满足性质 $|z^n|=|z{|}^n$。

[Image of properties of the modulus of complex numbers]

2. 建立等式：由于已知 $z^2=3+4i$，可以对等式两边同时取模，得 $|z^2|=|3+4i|$。

3. 计算右侧模值：根据复数模的定义 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算 $3+4i$ 的模。

4. 求解结果：通过 $|z{|}^2=|z^2|$ 解出 $|z|$。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $z^2=3+4i$。 对等式两边取模得： $|z^2|=|3+4i|$ 根据复数模的性质 $|z^2|=|z{|}^2$，且由定义计算等式右侧： $|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$ 所以有： $|z{|}^2=5$ 由于复数的模 $|z|$ 恒大于或等于 0，两边开方得： $|z|=\sqrt{5}$

答案：$\sqrt{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数模的定义 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 及模的运算性质 $|z^n|=|z{|}^n$。
• 核心方法：整体取模法。遇到 $z^n=w$ 或 $z=\frac{w_1}{w_2}$ 求 $|z|$ 的问题，优先对等式两边整体取模，避免拆解复数。
• 避坑指南：切忌先求出复数 $z$ 的代数形式。若设 $z=a+bi$ 再利用 $(a+bi{)}^2=3+4i$ 解方程组，计算量极大且容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于任何复数 $z$，$|z|=|\bar{z}|$ 且 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$。 *方法推广: 在处理复杂的复数表达式求模时，利用 $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$ 和 $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ 可以显著提高解题效率。

• 相关知识点：共轭复数、复平面的几何意义、复数的乘除运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2015-江苏卷-02 填-平均数
• 2010-江苏卷-02 填-复数的模
• 2018-江苏卷-02 填-复数运算