2015-江苏卷-21A 解-圆周角定理

本题导读

本题是江苏卷选做题中的几何证明题。主要考查圆周角定理与等腰三角形性质的综合应用，通过寻找两组对应角相等来证明三角形相似。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） （选修 4—1：几何证明选讲） 如图，在 $△ABC$ 中，$AB=AC$，$△ABC$ 的外接圆圆 $O$ 的弦 $AE$ 交 $BC$ 于点 $D$. 求证：$△ABD\sim △AEB$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找公共角：观察 $△ABD$ 与 $△AEB$，发现它们共享一个内角 $\angle BAE$（即 $\angle BAD=\angle BAE$）。
2. 利用等腰性质：已知 $AB=AC$，根据等边对等角，可得 $\angle ABC=\angle ACB$。
3. 利用圆周角定理：在圆 $O$ 中，$\angle ACB$ 与 $\angle AEB$ 都是弧 $AB$ 所对的圆周角。根据同弧所对的圆周角相等，有 $\angle ACB=\angle AEB$。
4. 等量代换：通过中介角 $\angle ACB$，建立 $\angle ABD$ 与 $\angle AEB$ 的相等关系。
5. 结论判定：根据“两角对应相等的两个三角形相似 ($AA$)”完成证明。

✅【答案】

点击查看答案

在 $△ABD$ 与 $△AEB$ 中， $\{\begin{array}{l}\angle ABD=\angle E\\ \angle BAE=\angle BAD(\text{公共角})\end{array}$ 所以 $△ABD\sim △AEB$

✍【详细解析】

Abstract

证明： 因为 $AB=AC$， 所以 $\angle ABD=\angle C$。 因为 $\angle C$ 与 $\angle E$ 都是弧 $AB$ 所对的圆周角， 根据圆周角定理，得 $\angle C=\angle E$。 所以 $\angle ABD=\angle E$。 在 $△ABD$ 与 $△AEB$ 中， $\{\begin{array}{l}\angle ABD=\angle E\\ \angle BAE=\angle BAD(\text{公共角})\end{array}$ 所以 $△ABD\sim △AEB$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：同弧所对圆周角相等；相似三角形判定定理（$AA$ 准则）。
• 核心方法：角度转换法。在涉及圆的相似证明中，利用圆周角、弦切角等定理进行角度的“搬运”是基本功。
• 避坑指南：注意字母顺序。在书写相似关系时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 由相似可得对应边成比例 $\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，从而导出结论 $A{B}^2=AD\cdot AE$。这在圆的幂定理相关题目中经常出现。 *方法推广: 证明相似通常有三个方向：$AA$（找角）、$SAS$（找边角）、$SSS$（找边）。在圆中，$AA$ 是最常用的方法。

• 相关知识点：相交弦定理、切割线定理、圆内接四边形性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.11三角形的四心的核心结论全梳理
• 18.09 阿基米德三角形

类题演练(Links)

• 2012-江苏卷-21
• 2013年江苏卷-21
• 2011-江苏卷-21 解-几何证明选讲