2015-浙江卷理-01 单-集合补集

本题导读

本题考查集合的混合运算。需要先通过解一元二次不等式确定集合 $P$ 的范围，再依次进行求补集和取交集的运算。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）已知集合 $P=\{x|x^2-2x\ge 0\}$，$Q=\{x|1<x\le 2\}$，则 $({\complement }_{\mathbb{R}}P)\cap Q=$ ()

A. $[0,1)$　　　　B. $(0,2]$　　　　C. $(1,2)$　　　　D. $[1,2]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $P$：解一元二次不等式 $x^2-2x\ge 0$。

2. 求补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}P$：在全集 $\mathbb{R}$ 中去掉集合 $P$ 的部分，注意开闭区间的转换。

3. 求交集：将补集结果与集合 $Q$ 取公共部分，利用数轴可以直观得出结果。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解集合 $P$

由 $x^2-2x\ge 0$ 得 $x(x-2)\ge 0$。

根据“大于取两边”的原则，解得 $x\le 0$ 或 $x\ge 2$。

故集合 $P=(-\infty ,0]\cup [2,+\infty )$。

第二步：求补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}P$

集合 $P$ 在实数集 $\mathbb{R}$ 上的补集为：

${\complement }_{\mathbb{R}}P=\{x|0<x<2\}=(0,2)$。

第三步：求交集 $({\complement }_{\mathbb{R}}P)\cap Q$

已知 $Q=(1,2]$，

则 $({\complement }_{\mathbb{R}}P)\cap Q=(0,2)\cap (1,2]=(1,2)$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次不等式的解法；补集与交集的定义。

• 核心方法：数轴分析法。在处理区间交并补运算时，画数轴能有效避免开闭区间（是否包含端点）的遗漏。

• 避坑指南：求补集时，原集合包含端点（$\le ,\ge$），补集则不包含端点（$<,>$）；反之亦然。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若集合 $A=\{x|(x-a)(x-b)>0\}$ ($a<b$)，则 ${\complement }_{\mathbb{R}}A=[a,b]$。

*方法推广: 集合问题通常是高考的第一题，难度较低，解题时务必保证不等式计算的准确性。

• 相关知识点：德·摩根定律、子集的概念。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2021-浙江卷-01 单-集合运算
• 2014-浙江卷理-01 单-集合补集
• 2022-高考浙江卷-1