2019-浙江卷-10 单-递推数列

本题导读

本题考查递归数列。核心在于不动点法、排除法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）设 $a,b\in \mathbb{R}$，数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=a$，$a_{n+1}=a_n^2+b$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。则()

A. 当 $b=\frac{1}{2}$ 时，$a_{10}>10$　　　　　B. 当 $b=\frac{1}{4}$ 时，$a_{10}>10$

C. 当 $b=-2$ 时，$a_{10}>10$　　　　　D. 当 $b=-4$ 时，$a_{10}>10$

🔍【思路分析】

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1. 理解题意：题目问的是“当 $b$ 取某值时，$a_{10}>10$ 是否恒成立”。注意隐含前提是对任意实数 $a$ 都要成立。
2. 核心工具：不动点法：

• 若存在某个 $x$ 使得 $x^2+b=x$，那么当首项 $a_1=x$ 时，后续所有项 $a_n$ 都等于 $x$。
• 如果这个不动点 $x\le 10$，那么 $a_{10}=x\le 10$，结论 $a_{10}>10$ 就不成立。

3. 快速排除法：

• 针对 B, C, D，分别解方程 $x^2-x+b=0$。只要方程有实根，且根的绝对值不超过 10，该选项必错。

4. 正面论证 A 选项：

• 当 $b=\frac{1}{2}$ 时，方程 $x^2-x+\frac{1}{2}=0$ 的 $\Delta =1-2=-1<0$，无实根。这意味着数列项会不断变化。
• 利用基本不等式 $x^2+y^2\ge 2xy$ 进行放缩，观察数列的增长趋势。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

第一步：利用“不动点”排除 B, C, D 要使“$a_{10}>10$”对任意 $a$ 恒成立，则该数列绝不能是一个数值小于等于 10 的常数数列。 令 $a_{n+1}=a_n=x$，得方程 $x^2+b=x$，即 $x^2-x+b=0$。

• B 选项：$b=\frac{1}{4}$。方程为 $x^2-x+\frac{1}{4}=0⟹(x-\frac{1}{2}{)}^2=0$。 取 $a=\frac{1}{2}$，则 $a_n=\frac{1}{2}$ 恒成立。此时 $a_{10}=\frac{1}{2}<10$，故 B 错误。
• C 选项：$b=-2$。方程为 $x^2-x-2=0⟹(x-2)(x+1)=0$。 取 $a=2$，则 $a_n=2$ 恒成立。此时 $a_{10}=2<10$，故 C 错误。
• D 选项：$b=-4$。方程为 $x^2-x-4=0⟹x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$。 由于 $\frac{1+\sqrt{17}}{2}\approx 2.56<10$，取 $a$ 为此根，则 $a_{10}<10$，故 D 错误。

第二步：正面证明 A 选项 当 $b=\frac{1}{2}$ 时，$a_{n+1}=a_n^2+\frac{1}{2}$。 由基本不等式 $a_n^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2\ge 2\cdot a_n\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}{a}_n$。 虽然 $a_n$ 可能为负，但 $a_2=a_1^2+\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}$，故从第二项起 $a_n>0$。 则对于 $n\ge 2$： $a_{n+1}=a_n^2+\frac{1}{2}\ge \sqrt{2}{a}_n$ 以此类推： $a_{10}\ge (\sqrt{2}{)}^8{a}_2=16a_2$ 因为 $a_2\ge \frac{1}{2}$，所以 $a_{10}\ge 16\times \frac{1}{2}=8$。 注意：更精密的估算： $a_3=a_2^2+\frac{1}{2}\ge (\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。 $a_4=a_3^2+\frac{1}{2}\ge (\frac{3}{4}{)}^2+\frac{1}{2}=\frac{17}{16}>1$。 一旦某项 $a_k>1$，则 $a_{k+1}=a_k^2+\frac{1}{2}>a_k+\frac{1}{2}$（因为 $x^2-x+\frac{1}{2}>0$ 恒成立）。 从 $a_4>1$ 开始，每一项至少增加 $0.5$（实际上增长得快得多，是指数级的）， $a_{10}$ 必然会远大于 $10$。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 不动点的妙用：在处理 $a_{n+1}=f(a_n)$ 形式的数列时，首先观察 $f(x)=x$ 的解。这些解是数列的“平衡点”，可以用来构造常数数列作为反例。
2. 二次递推的增长性：当二次函数 $f(x)=x^2+b$ 始终在直线 $y=x$ 上方时（即 $\Delta <0$），数列具有极强的发散趋势。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立一个【递推数列不动点】专题：

• 定义：方程 $f(x)=x$ 的实根称为函数 $f(x)$ 的不动点。
• 应用 1：构造辅助数列。对于一阶线性递推 $a_{n+1}=p{a}_n+q$，通过不动点 $x=px+q$ 得到 $x=\frac{q}{1-p}$，可构造等比数列 $\{a_n-x\}$。
• 应用 2：判断单调性。若 $f(x)>x$ 恒成立，则数列 $\{a_n\}$ 严格递增；若 $f(x)<x$ 恒成立，则数列 $\{a_n\}$ 严格递减。
• 应用 3：收敛性。如果数列收敛于 $L$，那么 $L$ 必须是不动点之一。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练 (Links)

• 2006-浙江卷理-07 单-基本不等式
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2014-天津卷文-20 解-集合新定义