2015-浙江卷理-17 解-线面垂直

本题导读

本题通过三棱柱模型考查空间几何中线面垂直的证明及二面角的计算。第一问利用坐标法通过向量数量积证明线面垂直；第二问通过建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，进而利用向量夹角公式计算二面角的余弦值。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle BAC=90^{\circ }$，$AB=AC=2$，$A_{1}A=4$，$A_1$ 在底面 $ABC$ 的射影为 $BC$ 的中点，$D$ 是 $B_1{C}_1$ 的中点.

(1) 证明：$A_{1}D\perp$ 平面 $A_{1}BC$；

(2) 求二面角 $A_1-BD-B_1$ 的平面角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：设 $BC$ 的中点为 $O$。由 $A_1$ 的射影为 $O$，可知 $A_{1}O\perp$ 平面 $ABC$。以 $OB,OA,O{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 第一问证明：
   • 确定各顶点坐标及向量 $\overrightarrow{A_{1}D}$ 的坐标。
   • 找到平面 $A_{1}BC$ 内两条相交直线（如 $BC$ 和 $A_{1}B$）的向量。
   • 证明 $\overrightarrow{A_{1}D}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 且 $\overrightarrow{A_{1}D}\cdot \overrightarrow{O{A}_1}=0$（或利用图中更直观的基向量），从而得出线面垂直。
3. 第二问计算：
   • 求出平面 $A_{1}BD$ 的一个法向量 $\vec{m}$。
   • 求出平面 $B_{1}BD$ 的一个法向量 $\vec{n}$。
   • 利用公式 $\cos \theta =\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}$ 求夹角，注意根据图示判定二面角是钝角还是锐角。

✅【答案】

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所以该二面角的平面角的余弦值为 $-\frac{1}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：线面垂直 如图，以 $BC$ 中点 $O$ 为坐标原点，以 $OB,OA,O{A}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

在 $△ABC$ 中，$AB=AC=2,\angle BAC=90^{\circ }$，则 $BC=2\sqrt{2},OA=\sqrt{2}$。 在 $Rt△A_{1}OA$ 中，$A{A}_1=4,OA=\sqrt{2}$，则 $A_{1}O=\sqrt{4^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{14}$。 各点坐标为：$A_1(0,0,\sqrt{14}),B(\sqrt{2},0,0),C(-\sqrt{2},0,0),A(0,\sqrt{2},0)$。 因为 $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}=(0,-\sqrt{2},\sqrt{14})$， 则 $B_1(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{14}),C_1(-\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{14})$。 中点 $D(0,-\sqrt{2},\sqrt{14})$。 向量 $\overrightarrow{A_{1}D}=(0,-\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{BC}=(-2\sqrt{2},0,0)$，$\overrightarrow{O{A}_1}=(0,0,\sqrt{14})$。 易知 $\overrightarrow{A_{1}D}\cdot \overrightarrow{BC}=0⟹A_{1}D\perp BC$； $\overrightarrow{A_{1}D}\cdot \overrightarrow{O{A}_1}=0⟹A_{1}D\perp O{A}_1$。 又 $BC\cap O{A}_1=O$，且均在平面 $A_{1}BC$ 内， 所以 $A_{1}D\perp$ 平面 $A_{1}BC$。

（2）计算二面角余弦值 设平面 $A_{1}BD$ 的法向量为 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$。 由 $\overrightarrow{A_{1}D}=(0,-\sqrt{2},0),\overrightarrow{BD}=(-\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{14})$： $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=-\sqrt{2}{y}_1=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}{x}_1-\sqrt{2}{y}_1+\sqrt{14}{z}_1=0\end{array}$ 取 $z_1=1$，得 $y_1=0,x_1=\sqrt{7}$。即 $\vec{m}=(\sqrt{7},0,1)$。

设平面 $B_{1}BD$ 的法向量为 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$。 由 $\overrightarrow{B_{1}D}=(-\sqrt{2},0,0),\overrightarrow{BD}=(-\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{14})$： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{B_{1}D}=-\sqrt{2}{x}_2=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}{x}_2-\sqrt{2}{y}_2+\sqrt{14}{z}_2=0\end{array}$ 取 $z_2=1$，得 $x_2=0,y_2=\sqrt{7}$。即 $\vec{n}=(0,\sqrt{7},1)$。 计算法向量夹角余弦值： $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{8}}=\frac{1}{8}$。 观察图形，二面角 $A_1-BD-B_1$ 为钝角。 所以该二面角的平面角的余弦值为 $-\frac{1}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：坐标法在立体几何中的应用。
• 核心方法：法向量夹角法。关键步骤是正确求出平面的法向量，并根据几何直观判断二面角的大小（锐角或钝角）。
• 避坑指南：建立坐标系前必须严格证明轴之间的垂直关系（如 $A_1$ 射影的应用）。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若法向量方向均指向二面角内侧（或一内一外），则夹角余弦值取正或取负。 *方法推广: 空间解析几何中，求解点到平面的距离、线面角、二面角均可统一为向量运算，是标准化解题的利器。

• 相关知识点：三垂线定理、空间向量的线性运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 21.01空间向量及其运算

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷理-17
• 2014-浙江卷理-17 填-仰角
• 2006-浙江卷理-17 解-直线与平面所成的角